高考数学：三角函数与向量的交汇题型分析及解题策略

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1、专题：三角函数与向量的交汇题型分析及解题策略【考试要求）1．理解任意角的正弦，余弦，正切的定义．了解余切，正割，余割的定义．掌握同角三角函数的基本关系式．掌握正弦，余弦的诱导公式．了解周期函数与最小正周期的意义．2．掌握两角和与两角差的正弦，余弦，正切公式．掌握二倍角的正弦，余弦，正切公式．3．能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简，求值和恒等式证明．4．理解正弦函数，余弦函数，正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数，余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图，理解A，ω，φ的物理意义．5．掌握正弦定理，余弦定理，并能

2、初步运用它们解斜三角形．6．掌握向量的加法和减法．掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件．7．了解平面向量的基本定理.理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算．8．掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度，角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件．9．掌握平面两点间的距离公式以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用．掌握平移公式．【考点透视）向量具有代数运算性与几何直观性的“双重身份”，即可以象数一样满足“运算性质”进行代数形式的运算，又可以利用它的几何意义进行几何形式的变换.而三

3、角函数是以“角”为自变量的函数，函数值体现为实数，因此平面向量与三角函数在“角”之间存在着密切的联系.同时在平面向量与三角函数的交汇处设计考题，其形式多样，解法灵活，极富思维性和挑战性.主要考点如下：1．考查三角式化简，求值，证明及求角问题.2．考查三角函数的性质与图像，特别是y=Asin(wx+j)的性质和图像及其图像变换.3．考查平面向量的基本概念，向量的加减运算及几何意义，此类题一般难度不大，主要用以解决有关长度，夹角，垂直，平行问题等.4．考查向量的坐标表示，向量的线性运算，并能正确地进行运算.5．考查平面向量的数量积及运算

4、律(包括坐标形式及非坐标形式)，两向量平行与垂直的充要条件等问题.6．考查利用正弦定理，余弦定理解三角形问题.【典例分析）题型一　三角函数平移与向量平移的综合三角函数与平面向量中都涉及到平移问题，虽然平移在两个知识系统中讲法不尽相同，但它们实质是一样的，它们都统一于同一坐标系的变化前后的两个图象中.解答平移问题主要注意两个方面的确定：(1)平移的方向；(2)平移的单位.这两个方面就是体现为在平移过程中对应的向量坐标.【例1）　把函数y＝sin2x的图象按向量＝(－，－3)平移后，得到函数y＝Asin(ωx＋j)(A＞0，ω＞0，

5、j

6、

7、＝)的图象，则j和B的值依次为（）A．，－3B．，3C．，－3D．－，3【分析）　根据向量的坐标确定平行公式为，再代入已知解析式可得.还可以由向量的坐标得图象的两个平移过程，由此确定平移后的函数解析式，经对照即可作出选择.【解析1）　由平移向量知向量平移公式，即，代入y＝sin2x得y¢＋3＝sin2(x¢＋)，即到y＝sin(2x＋)－3，由此知j＝，B＝－3，故选C.【解析2）　由向量＝(－，－3)，知图象平移的两个过程，即将原函数的图象整体向左平移个单位，再向下平移3个单位，由此可得函数的图象为y＝sin2(x＋)－3，即y

8、＝sin(2x＋)－3，由此知j＝，B＝－3，故选C.【点评）　此类题型将三角函数平移与向量平移有机地结合在一起，主要考查分析问题，解决问题的综合应用能力，同时考查方程的思想及转化的思想.本题解答的关键，也是易出错的地方是确定平移的方向及平移的大小.题型二　三角函数与平面向量平行(共线)的综合此题型的解答一般是从向量平行(共线)条件入手，将向量问题转化为三角问题，然后再利用三角函数的相关知识再对三角式进行化简，或结合三角函数的图象与民性质进行求解.此类试题综合性相对较强，有利于考查学生的基础掌握情况，因此在高考中常有考查.【例2）　

9、已知A，B，C为三个锐角，且A＋B＋C＝π.若向量＝(2－2sinA，cosA＋sinA)与向量＝(cosA－sinA，1＋sinA)是共线向量.（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）求函数y＝2sin2B＋cos的最大值.【分析）　首先利用向量共线的充要条件建立三角函数等式，由于可求得A角的正弦值，再根据角的范围即可解决第(Ⅰ)小题；而第(Ⅱ)小题根据第(Ⅰ)小题的结果及A，B，C三个角的关系，结合三角民恒等变换公式将函数转化为关于角B的表达式，再根据B的范围求最值.【解）　（Ⅰ）∵，共线，∴(2－2sinA)(1＋sinA)＝(cosA＋sinA

10、)(cosA－sinA)，则sin2A＝，又A为锐角，所以sinA＝，则A＝.（Ⅱ）y＝2sin2B＋cos＝2sin2B＋cos＝2sin2B＋cos(－2B)＝1－cos2B＋cos2B＋sin2B＝sin2B－cos2B＋1＝s