矩阵的秩及其 求法

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1、第五节：矩阵的秩及其求法一、矩阵秩的概念1.k阶子式定义1设在A中任取k行k列交叉处元素按原相对位置组成的阶行列式，称为A的一个k阶子式。例如共有个二阶子式，有个三阶子式矩阵A的第一、三行，第二、四列相交处的元素所构成的二阶子式为而为A的一个三阶子式。显然，矩阵A共有个k阶子式。2.矩阵的秩定义2设有r阶子式不为0，任何r+1阶子式(如果存在的话)全为0,称r为矩阵A的秩，记作R(A)或秩(A)。规定：零矩阵的秩为0.注意：(1)如R(A)=r，则A中至少有一个r阶子式所有r+1阶子式为0，且更高阶子式均为0，r是A中不为零

2、的子式的最高阶数，是唯一的.(2)有行列式的性质，(3)R(A)≤m,R(A)≤n,0≤R(A)≤min{m,n}.(4)如果An×n,且则R(A)=n.反之，如R(A)=n,则因此，方阵A可逆的充分必要条件是R(A)=n.二、矩阵秩的求法1、子式判别法(定义)。例1设为阶梯形矩阵，求R(B)。解由于存在一个二阶子式不为0，而任何三阶子式全为0，则R(B)=2.结论：阶梯形矩阵的秩=台阶数。例如一般地，行阶梯形矩阵的秩等于其“台阶数”——非零行的行数。第3页共3页例2设如果求a.解或例3则2、用初等变换法求矩阵的秩定理2矩阵

3、初等变换不改变矩阵的秩。即则注：只改变子行列式的符号。是A中对应子式的k倍。是行列式运算的性质。求矩阵A的秩方法：1）利用初等行变换化矩阵A为阶梯形矩阵B2）数阶梯形矩阵B非零行的行数即为矩阵A的秩。例4求解R(A)=2第3页共3页例5三、满秩矩阵定义3A为n阶方阵时，称A是满秩阵，（非奇异矩阵）称A是降秩阵，（奇异矩阵）可见：对于满秩方阵A施行初等行变换可以化为单位阵E,又根据初等阵的作用：每对A施行一次初等行变换，相当于用一个对应的初等阵左乘A,由此得到下面的定理.定理3设A是满秩方阵，则存在初等方阵使得对于满秩矩阵A，

4、它的行最简形是n阶单位阵E.例如A为满秩方阵。关于矩阵的秩的一些重要结论：定理5R(AB)R(A),R(AB)R(B),即R(AB)min{R(A)，R(B)}设A是矩阵，B是矩阵，性质1性质2如果AB=0则性质3如果R(A)=n,如果AB=0则B=0。性质4设A,B均为矩阵，则例8设A为n阶矩阵，证明R（A+E）+R（A-E）≥n证：∵（A+E）+（E-A）=2E∴R（A+E）+R（E-A）≥R（2E）=n而R（E-A）=R（A-E）∴R（A+E）+R（A-E）≥n第3页共3页