矩阵的秩及其求法.ppt

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1、主讲教师:张宇线性代数1一、矩阵秩的概念二、矩阵秩的求法第四节矩阵的秩及其求法第二章三、满秩矩阵2矩阵的秩是线性代数理论中一个重要的概念。为了进一步研究线性方程组求解的问题，还需要引入矩阵的子矩阵和秩的概念。这是研究线性方程的基础，其与向量组的秩等问题都有密切的联系。1.k阶子式定义1设在A中任取k行k列交叉称为A的一个k阶子式。阶行列式，处元素按原相对位置组成的一、矩阵的秩的概念3设，共有个二阶子式，有个三阶子式。例如矩阵A的第一、三行，第二、四列相交处的元素所构成的二阶子式为而为A的一个三阶子式。显然，矩阵A共有个k阶子式。4当A＝0时，它的任何子式

2、都为零。当时，它至少有一个元素不为零，即它至少有一个一阶子式不为零。这时再考察二阶子式。若A中有二阶子式不为零，则再往下考察三阶子式。依此类推，最后达到A中有r阶子式不为零。而再没有比r更高阶的不为零的子式。这个不为设零的子式的最高阶数r反映了矩阵A内在的重要性，在矩阵的理论与应用中有重要意义。5其中有二阶子式但它的任何三阶子式皆为0，即不为零的子式的最高阶数例如：62.矩阵的秩设，有r阶子式不为0，任何r+1阶记作r(A)或秩(A)。子式(如果存在的话)全为0,规定秩(A)=0从本质上说，的最高阶数。显然有：当时，定义2称r为矩阵A的秩，矩阵的秩就是矩

3、阵中不等于0的子式称矩阵A为满秩矩阵。7二、矩阵秩的求法1、子式判别法(定义)。例1设为阶梯形矩阵，求r(B)。解，由于存在一个二阶子式不为0，而任何三阶子式全为0，则r(B)=2.结论：阶梯形矩阵的秩=台阶数。8例如一般地，行阶梯形矩阵的秩等于其“台阶数”——非零行的行数。9如果求a.解或例2设10则例3112、用初等变换法求矩阵的秩定理2矩阵初等变换不改变矩阵的秩。即则注：只改变子行列式的符号。是A中对应子式的k倍。是行列式运算的性质。由于初等变换不改变矩阵的秩，而任一都等价于行阶梯矩阵。其秩等于它的非零行的行数，即为所以可以用初等变换化A为阶梯矩阵

4、来求A的秩。12阶梯形，秩(A)=阶梯数。例4解R(A)=2，作法求13例514例6求矩阵解法一的秩。但是包含D3的所有四阶子式15解法二16三、满秩矩阵称A是满秩阵，（非奇异矩阵）称A是降秩阵，（奇异矩阵）可见：A为n阶方阵时，定义3对于满秩方阵A施行初等行变换可以化为单位阵E,又根据初等阵的作用：每对A施行一次初等行变换，相当于用一个对应的初等阵左乘A,由此得到下面的定理17定理3设A是满秩方阵，则存在初等方阵使得定理4设A是满秩方阵的充要条件是A为非奇异矩阵。18例如它的行最简形和标准形是n阶单位阵E.对于满秩矩阵A，A为满秩方阵。19若求A的标准

5、型矩阵进行列变换20重要结论设A是矩阵，R(A)=r，则A为矩阵A的等价标准形矩阵。设A，B是矩阵，(3)存在m阶可逆矩阵P与n阶可逆矩阵Q，使1、定理4与矩阵等价。称2、定理5则以下三个条件等价（1）A与B等价；P61证明矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。213、矩阵的积的秩(1)推论1设A是矩阵，R(A)=r，则存在m阶可逆矩阵P，n阶可逆矩阵Q，使(2)定理6设A是矩阵，n阶可逆矩阵，P、Q分别为m阶、则R(A)=R(PA)=R(AQ)=R(PAQ)(3)定理7R(AB)R(A),R(AB)R(B),即R(AB)min{R(A)，R(B)}。即对于给定

6、矩阵左乘或右乘可逆矩阵其秩不变。22关于矩阵的秩的一些重要结论：性质1设A是矩阵，B是矩阵，性质2如果AB=0则性质3如果R(A)=n,如果AB=0则B=0。性质4设A是n阶方阵，n≥2,则性质5设A,B均为矩阵，则23R（A+B）≤R（A）+R（B）⑤R（AB）≤min{R（A），R（B）}⑥若Am×nBn×s=0，则R（A）+R（B）≤n证：性质524设A为n阶矩阵，证明R（A+E）+R（A-E）≥n证：∵（A+E）+（E-A）=2E∴r（A+E）+r（E-A）≥r（2E）=n而r（E-A）=r（A-E）∴r（A+E）+r（A-E）≥n例825作业P

7、10912326