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1、精品文档第五节：矩阵的秩及其求法一、矩阵秩的概念1.k阶子式定义1设Aaijmn在A中任取k行k列交叉处元素按原相对位置组成的k(1kminm,n)阶行列式，称为A的一个k阶子式。1231共有C32C4218例如A4654334个三阶个二阶子式，有子式C4C3101112321而D3矩阵A的第一、三行，第二、四列相交处的元素所构成的二阶子式为D2465kk01101为A的一个三阶子式。显然，mn矩阵A共有cmcn个k阶子式。2.矩阵的秩定义2设Aaijmn有r阶子式不为0，任何r+1阶子式(如果存在的话)全为0,称r为矩阵A的秩，记作()或秩()。RAA规定：零矩阵的秩
2、为0.注意：(1)如R(A)=r，则A中至少有一个r阶子式Dr0,所有r+1阶子式为0，且更高阶子式均为0，r是A中不为零的子式的最高阶数，是唯一的.(2)有行列式的性质，R(A)R(AT).(3)R(A)≤,()≤,0≤()≤min{m,n}.mRAnRA(4)如果An×n,且A则R(A)=n.反之，如R(A)=n,则A0.0,因此，方阵A可逆的充分必要条件是R(A)=n.二、矩阵秩的求法1、子式判别法(定义)。1234例1设B0270为阶梯形矩阵，求()。RB0000解由于12存在一个二阶子式不为0，而任何三阶子式全为0，则R(B)=2.002结论：阶梯形矩阵的秩
3、=台阶数。例如2301211012521235108153A0101B01C010D034E0072001000001000000000RA3RB2RC3RD2RE3一般地，行阶梯形矩阵的秩等于其“台阶数”——非零行的行数。。1欢迎下载精品文档a113,求a.例2设A1a1如果RA11aa11解RA3A1a1(a2)(a1)2011aa1或a2K111例3A1K1111K1111KRA3则K31111AK31K111)3(K3)11K(K1111K2、用初等变换法求矩阵的秩定理2矩阵初等变换不改变矩阵的秩。即AB则R(A)R(B)注：1.rirj只改变子行列式的符号。2
4、.kri是A中对应子式的k倍。3.rikrj是行列式运算的性质。求矩阵A的秩方法：1）利用初等行变换化矩阵A为阶梯形矩阵B2）数阶梯形矩阵B非零行的行数即为矩阵A的秩。1024例4A2136求RA.1112Ar22r110241024解0112011201120000R(A)=2。2欢迎下载精品文档1112例5设A312,且R（A）2，求,536111211121112A3120344034453608540510R(A)2,50,105,1三、满秩矩阵定义3A为n阶方阵时，RAn,RAn,可见：RAn称A是满秩阵，（非奇异矩阵）称A是降秩阵，（奇异矩阵）A0对于满秩
5、方阵A施行初等行变换可以化为单位阵E,又根据初等阵的作用：每对A施行一次初等行变换，相当于用一个对应的初等阵左乘A,由此得到下面的定理.定理3设A是满秩方阵，则存在初等方阵P1,P2,,Ps.使得PsPs1,P2P1AE对于满秩矩阵A，它的行最简形是n阶单位阵E.RAnA~ERAnA~En例如123123100100A212034011010E312023023001RAA3为满秩方阵。关于矩阵的秩的一些重要结论：定理5R(AB)R(A),R(AB)R(B),即R(AB)min{R(A)，R(B)}设A是mn矩阵，B是nt矩阵，性质1R(A)R(B)nR(AB).性质2
6、如果AB=0则R(A)R(B)n.性质3如果()如果AB=0则B=0。RA=n,性质4设A,B均为mn矩阵，则R(AB)R(A)R(B).例8设A为n阶矩阵，证明R（A+E）+R（A-E）≥n证：∵（A+E）+（E-A）=2E∴R（A+E）+R（E-A）≥R（2E）=n而R（E-A）=R（A-E）∴R（A+E）+R（A-E）≥n。3欢迎下载精品文档欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求。4欢迎下载
