立几中球微专题

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1、多面体与球的微专题郭俊芳图二球与多面体的关系是全国卷必单独命题的一个知识点，也是学生在空间向量工具的依赖下，空间想象力减弱后畏惧的问题。笔者用微专题的形式在二轮复习中强化，学生反应效果较好。以下例谈复习设计：主要分两图一类——三棱锥与球，三棱锥与球。一、三棱锥与球1.三棱锥四个面直角三角形的个数与球的模型（1）三个直角三角形（图一）：直角顶点为B，满足4R2=a2+b2+c2三个直角三角形（图二）：直角顶点分散为A、B、C，（2）四个直角三角形（图三、四）：球心是最长边的中点。（3）两个直角三角形（图五、六）：有线面垂直的条

2、件，补为直三棱柱，球心在两底面外心连线中点。图四图五图六图七图八两个直角三角形（图七、八）：没有图三线面垂直的条件（如图矩形沿对角线翻折成三棱锥），球心是公共斜边中点。（4）一个直角三角形：其余三个三六角形无等腰等特殊性，计算很繁琐，没有研究价值。2.三棱锥四个等腰或等边三角形的个数与球的模型（1）1+5型三棱锥（两个等边和两个等腰如图九）AB=6,其余等于4.找线面垂直CD⊥ABH，找外心M、N，做ON⊥BCD，OM⊥ACD，则球心为O。MH=NH,OH平分角AHB，cosÐAHB=-1,ÐOHN=6002NH=23,NO

3、=2,33OB2=R2=ON2+BN2=(43)2+(2)2=52.3392263.三视图与球（图十、十一）某棱锥的三视图如图，求其外接球的表面积。三视图对应的棱锥是D-ABCAB=AC=1,BC=,AD=3,BD=,CD=,图九ABC,ABD是直角三角形，做OH⊥ABD，OE⊥ABC，则O是球心。A(1,0,0),D(0,-1,1),H（1，-11）,O（11，h），，，22222AD=(-1,-1,1),HO=(0,1,h-1),2由AD⊥OH,解得h=3,2图十R2=OE2+BE2=(积=11π二、四棱锥与球2)

4、2+(3)2=11,则外接球的表面2241.已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形，其外接球的表面积为28p，△PAB是等边三角形，平面PAB^平面ABCD，则a=▲．解析1：（如图十二）△PAB是等边三角形，ABCD是边长为a的正方形，则外接球球心O是外心的交点。设N是PAB图十一图十二3aa22112的外心，PN=，ON=，PO=R=7=(+)a，3234a=23。解析2：OA=OP=R，设OM=h，R2=7，OM2+AM2=ON2+PN2=7，2h2=7-a2，R2=a2+3(42a-h)2

5、，解得：a=23.2.已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形，其外接球的表面积为240p，△PAB是等腰三角形，PA=PB=2a，平面PAB^平面ABCD，则a=▲．核心是三角形外接圆半径。解析：（如图十二）R2=60，△PAB的高d==a，4a-2a24152由面积公式S=abc(r4r是外接圆半径）,△PAB的外接圆半径PN=4a，15PO2=R2=PN2+ON2a260=+16a279a2=60=,a。41560793.已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是AB=a，BC=2a的矩形，其外

6、接球的表面积为28p，△PAB是等边三角形，平面PAB^平面ABCD，则a=▲．解析：（如图十二）PN=3a，ON=a，3PO2=R2=7=(1+1)a2，a=21。32图十三图十四4.已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是AB=2a，DC=23a，ÐADC=750的等腰梯形，其外接球的表面积为28p，△PAB是等边三角形，平面PAB^平面ABCD，则a=▲解析（图十三、十四）：先找等腰梯形ABCD外接圆圆心M，ABC外接圆圆心N，垂线的交点O即为球心。立体图形平面化。△ADM是等腰直角三角形，M到AB的ME=3a,

7、PN=3a3PO2=R2=7=(3a)2+(3a)2=10a2，a=21。33105.粗实线画出的是某四棱锥的三视图，已知其俯视图是正三角形，则该四棱锥的外接球的表面积是（）．A．19pB．22pC．19pD．22p图十五B133解析（图十五、十六）由三视图，可得四棱锥（记作：C1-A1ABB1）的直观图如右图所示．显然四棱锥C1-A1ABB1的外接球，也就是BC1O1A1OCO2D图十六A三棱柱ABC-A1B1C1的外接球．分别取正三角形A1B1C1和正三角形ABC的中心O1，O2，则线段O1O2的中点O就是三棱柱AB

8、C-A1B1C1外接球的球心．CD=OO=1AA=1，CO=2CD=OC==解析：,2212323CO2+OO2221912233，1912ABC-ABC外接球的半径r=外接球的表面积S=4pr2=4p´19=19p111123.