概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布

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1、第三章一维随机变量及其分布概率论与数理统计随机变量的分布函数2连续型随机变量3离散型随机变量1第三章一维随机变量及其分布第一节离散型随机变量12随机变量的概念离散型随机变量的分布律3常用的离散型分布一、随机变量的概念定义1对于给定的随机试验，是其样本空间，对中每一样本点，有且只有一个实数与之对应，则称此定义在上的实值函数X为随机变量（Randomvariable）．通常用大写英文字母表示随机变量，用小写的英文字母表示其取值．一、随机变量的概念投掷一枚均匀硬币，观察硬币的着地面，此时观察对象是硬币的面，因而是定性的，我们可引进如下的量化指标（记之为X）：设X为一次投掷中出现正面的次

2、数，即二、离散型随机变量的分布律定义2设X为随机变量，可能取的值是有限个或可数多个数值，这样的随机变量称为离散型随机变量，它的分布称为离散型分布．二、离散型随机变量的分布律设X为一个离散型随机变量，它可能取的值为，事件的概率为，那么，可以用下列表格来表达X取值的规律：其中N．这个表格所表示的函数称为离散型随机变量X的分布律（或称为概率分布）．二、离散型随机变量的分布律例1在装有m个红球，n个白球的袋子中，随机取一球，观察取出球的颜色，此时观察对象为球的颜色，因而是定性的，我们可引进如下的量化指标（记之为X）：二、离散型随机变量的分布律则有于是X的分布律为二、离散型随机变量的分布律

3、例2设随机变量的分布律为：求(1)(2)Y=2X+3的分布律。二、离散型随机变量的分布律解：由X的分布律可列出下表二、离散型随机变量的分布律由上表可定出的分布律为：(2)的分布律为：三、常用的离散型分布1.（0－1）分布如果X的分布律为其中，则称X的分布为（0－１）分布或两点分布（Two-pointdistribution）．三、常用的离散型分布2.二项分布在n重伯努利试验中，如果以随机变量X表示n次试验中事件A发生的次数，则X可能取的值为，且由二项概率得到x取k值的概率因此，X的分布律为称这个离散型分布为参数为n,p的二项分布(Binomialdistribution)，记作，

4、这里三、常用的离散型分布例3一个袋子中装有4个球，3个白球，1个黑球。从中任意取出1球，观察其颜色，放回袋中。共取出三次。设为取出黑球的次数，求随机变量的分布律及至多取出一次黑球的概率．解每次取出黑球的概率为1/4，可认为做3次重复独立的试验，每次试验中事件发生的概率为1/4，因此取出黑球的次数X服从参数为3,1/4的二项分布，其分布律为三、常用的离散型分布即为至多取出一次黑球的概率为三、常用的离散型分布3.几何分布设随机变量X的分布律为P则称X服从参数为p的几何分布(Geometricdistribution)，记作三、常用的离散型分布几何分布具有下列无记忆性：因此代入即得结论

5、。三、常用的离散型分布4.超几何分布设N，M，k为正整数，且,,若随机变量X的分布律为则称X服从参数为n，M，N的超几何分布(Hype-geometricdistribution)，记作三、常用的离散型分布一个袋子装有N个球，其中有N1个白球，N2个黑球（N=N1+N2）,从中不放回地抽取n个球，设X表示取得白球的数目，则X的分布为超几何分布。即三、常用的离散型分布5.泊松分布设随机变量X的分布律为其中，则称随机变量X服从参数为的泊松分布(Poissondistribution)，记作三、常用的离散型分布例4设每分钟来到某医院就诊的急诊病人数X服从泊松分布，且已知在一分钟内没有急

6、诊病人与恰有一个急诊病人的概率相同，求在一分钟内至少有两个急诊病人前来就诊的概率．三、常用的离散型分布解设X服从参数为的泊松分布，由题意知即可解得因此，至少有两个急诊病人前来就诊的概率为三、常用的离散型分布定理1（泊松定理）三、常用的离散型分布例5设某人进行射击，每次射击的命中率为0.005，独立射击1000次，试求1000次射击中集中次数不超过10次的概率．解设X为1000次射击中的击中次数，对每次射击而言，相当于做一次伯努利试验，1000次就是做1000重伯努利试验，因此，而这1000次射击中击中次数不超过10次的概率为第二节随机变量的分布函数12分布函数的概念分布函数的性质

7、一、分布函数的概念定义3设X是一个随机变量，称定义域为，函数值在区间[0,1]上的实值函数为随机变量X的分布函数（Distributionfunction）．一、分布函数的概念例6设一口袋有六个球，其中一个白球、3个红球、2个黑球．从中任取一球，记随机变量为取得球上的颜色（白色、红色、黑色一次记为1、2、3），求X的分布函数．解X可能取的值为1,2,3，由古典概型的计算公式，可知取这些值的概率依次为．一、分布函数的概念F(x)点表达式为一、分布函数的概念按分布函数的定义可知F(x