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《高考数学必考题型数列 (3)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第25练 常考的递推公式问题的破解方略题型一 由相邻两项关系式求通项公式例1 已知正项数列{an}满足a1＝1,(n＋2)a－(n＋1)a＋anan＋1＝0,则它的通项公式为( )A、an＝B、an＝C、an＝D、an＝n破题切入点 对条件因式分解、答案 B解析 由(n＋2)a－(n＋1)a＋anan＋1＝0,得[(n＋2)an＋1－(n＋1)an](an＋1＋an)＝0,又an>0,所以(n＋2)an＋1＝(n＋1)an,即＝,an＋1＝an,所以an＝··…·a1＝a1(n≥2),所以an＝(n＝1适合),于是
2、所求通项公式为an＝.题型二 已知多项间的递推关系求通项公式例2 已知数列{an}满足a1＝,anan－1＝an－1－an,则数列{an}的通项公式为________、破题切入点 求证{－}为等差数列,再利用累加法求得,便可求得an.答案 an＝解析 ∵anan－1＝an－1－an,∴－＝1.∴＝＋＋＋…＋＝2＋1＋1＋…＋＝n＋1.∴＝n＋1,∴an＝.题型三 构造法求通项公式例3 (1)已知a1＝1,an＋1＝2an＋1,求an；(2)已知a1＝1,an＋1＝,求an.破题切入点 观察条件,联想学过的数列来构造、
3、解 (1)由an＋1＝2an＋1得an＋1＋1＝2(an＋1),又a1＋1＝2≠0,于是可知{an＋1}为以2为首项2为公比的等比数列、即an＋1＝2n,∴an＝2n－1,∴所求通项公式为an＝2n－1.(2)由an＋1＝得－＝1(常数),又＝1,∴{}为1为首项,1为公差的等差数列,∴＝n,从而an＝,即所求通项公式为an＝.总结提高 求数列通项公式常见的方法：(1)观察法：利用递推关系写出前n项,根据前n项的特点观察,归纳猜想出an的表达式、(2)利用前n项和与通项的关系an＝(3)在已知数列{an}中,满足an
4、＋1－an＝f(n)且f(1)＋f(2)＋…＋f(n)可求,则可用累加法求数列的通项an.(4)在已知数列{an}中,满足＝f(n)且f(1)·f(2)·…·f(n)可求,则可用累乘法求数列的通项an.(5)将递推关系进行变换,转化为常见数列(等差、等比数列)、1、在数列{an}中,a1＝1,anan－1＝an－1＋(－1)n(n≥2,n∈N*),则的值是( )A.B.C.D.答案 C解析 由已知得a2＝1＋(－1)2＝2,∴a3·a2＝a2＋(－1)3,∴a3＝,∴a4＝＋(－1)4,∴a4＝3,∴3a5＝3＋(
5、－1)5,∴a5＝,∴＝×＝.2、学校餐厅每天供应500名学生用餐,每星期一有A,B两种菜可供选择、调查资料表明,凡是在星期一选A种菜的,下星期一会有20%改选B种菜；而选B种菜的,下星期一会有30%改选A种菜、用an,bn分别表示在第n个星期的星期一选A种菜和选B种菜的人数,如果a1＝300,则a10为( )A、350B、300C、400D、450答案 B解析 依题意,得消去bn,得an＋1＝an＋150.由a1＝300,得a2＝300；由a2＝300,得a3＝300；……从而得a10＝300,故选B.3、已知f
6、(x)＝log2＋1,an＝f()＋f()＋…＋f(),n为正整数,则a2015等于( )A、2014B、2009C、1005D、1006答案 A解析 因为f(x)＝log2＋1,所以f(x)＋f(1－x)＝log2＋1＋log2＋1＝2.所以f()＋f()＝2,f()＋f()＝2,…,f()＋f()＝2,由倒序相加,得2an＝2(n－1),an＝n－1,所以a2015＝2015－1＝2014,故选A.4、在正项数列{an}中,a1＝2,an＋1＝2an＋3×5n,则数列{an}的通项公式为________、答案
7、an＝5n－3×2n－1解析 在递推公式an＋1＝2an＋3×5n的两边同时除以5n＋1,得＝×＋,①令＝bn,则①式变为bn＋1＝bn＋,即bn＋1－1＝(bn－1),所以数列{bn－1}是等比数列,其首项为b1－1＝－1＝－,公比为.所以bn－1＝(－)×()n－1,即bn＝1－×()n－1＝,故an＝5n－3×2n－1.5、数列{an}的前n项和Sn满足2SnSn－1＝an(n≥2,n∈N*),且a1＝1,则数列{an}的通项公式为________、答案 an＝解析 当n≥2时,an＝Sn－Sn－1,则2SnS
8、n－1＝Sn－Sn－1,即－＝－2,又＝＝1,故{}是首项为1,公差为－2的等差数列,则＝1＋(n－1)(－2)＝－2n＋3,所以Sn＝.当n≥2时,an＝Sn－Sn－1＝－＝,验证a1＝1不满足,故所求通项公式an＝6、设函数f(x)＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋anxn－1,f(0)＝,数列{an}满足f(1)＝n2an(n∈N*),则数列
