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《高考数学必考题型数列 (2)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第24练 基本量——破解等差、等比数列的法宝题型一 等差、等比数列的基本运算例1 已知等差数列{an}的前5项和为105,且a10＝2a5.(1)求数列{an}的通项公式；(2)对任意m∈N*,将数列{an}中不大于72m的项的个数记为bm.求数列{bm}的前m项和Sm.破题切入点 (1)由已知列出关于首项和公差的方程组,解得a1和d,从而求出an.(2)求出bm,再根据其特征选用求和方法、解 (1)设数列{an}的公差为d,前n项和为Tn,由T5＝105,a10＝2a5,得解得a1＝7,d＝7.因此an＝a1＋(n
2、－1)d＝7＋7(n－1)＝7n(n∈N*)、(2)对m∈N*,若an＝7n≤72m,则n≤72m－1.因此bm＝72m－1.所以数列{bm}是首项为7,公比为49的等比数列,故Sm＝＝＝＝.题型二 等差、等比数列的性质及应用例2 (1)已知正数组成的等差数列{an},前20项和为100,则a7·a14的最大值是( )A、25B、50C、100D、不存在(2)在等差数列{an}中,a1＝－2013,其前n项和为Sn,若－＝2,则S2013的值为( )A、－2011B、－2012C、－2010D、－2013破题切入
3、点 (1)根据等差数列的性质,a7＋a14＝a1＋a20,S20＝可求出a7＋a14,然后利用基本不等式、(2)等差数列{an}中,Sn是其前n项和,则也成等差数列、答案 (1)A (2)D解析 (1)∵S20＝×20＝100,∴a1＋a20＝10.∵a1＋a20＝a7＋a14,∴a7＋a14＝10.∵an>0,∴a7·a14≤2＝25.当且仅当a7＝a14时取等号、故a7·a14的最大值为25.(2)根据等差数列的性质,得数列也是等差数列,根据已知可得这个数列的首项＝a1＝－2013,公差d＝1,故＝－2013＋(
4、2013－1)×1＝－1,所以S2013＝－2013.题型三 等差、等比数列的综合应用例3 已知数列{an}的前n项和Sn满足条件2Sn＝3(an－1),其中n∈N*.(1)证明：数列{an}为等比数列；(2)设数列{bn}满足bn＝log3an,若cn＝anbn,求数列{cn}的前n项和、破题切入点 (1)利用an＝Sn－Sn－1求出an与an－1之间的关系,进而用定义证明数列{an}为等比数列、(2)由(1)的结论得出数列{bn}的通项公式,求出cn的表达式,再利用错位相减法求和、(1)证明 由题意得an＝Sn－
5、Sn－1＝(an－an－1)(n≥2),∴an＝3an－1,∴＝3(n≥2),又S1＝(a1－1)＝a1,解得a1＝3,∴数列{an}是首项为3,公比为3的等比数列、(2)解 由(1)得an＝3n,则bn＝log3an＝log33n＝n,∴cn＝anbn＝n·3n,设Tn＝1·31＋2·32＋3·33＋…＋(n－1)·3n－1＋n·3n,3Tn＝1·32＋2·33＋3·34＋…＋(n－1)·3n＋n·3n＋1.∴－2Tn＝31＋32＋33＋…＋3n－n·3n＋1＝－n·3n＋1,∴Tn＝.总结提高 (1)关于等差、等
6、比数列的基本量的运算,一般是已知数列类型,根据条件,设出a1,an,Sn,n,d(q)五个量的三个,知三求二,完全破解、(2)等差数列和等比数列有很多相似的性质,可以通过类比去发现、挖掘、(3)等差、等比数列的判断一般是利用定义,在证明等比数列时注意证明首项a1≠0,利用等比数列求和时注意公比q是否为1.1、已知{an}为等差数列,其公差为－2,且a7是a3与a9的等比中项,Sn为{an}的前n项和,n∈N*,则S10的值为( )A、－110B、－90C、90D、110答案 D解析 ∵a3＝a1＋2d＝a1－4,a
7、7＝a1＋6d＝a1－12,a9＝a1＋8d＝a1－16,又∵a7是a3与a9的等比中项,∴(a1－12)2＝(a1－4)·(a1－16),解得a1＝20.∴S10＝10×20＋×10×9×(－2)＝110.2、(2014·课标全国Ⅱ)等差数列{an}的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则{an}的前n项和Sn等于( )A、n(n＋1)B、n(n－1)C.D.答案 A解析 由a2,a4,a8成等比数列,得a＝a2a8,即(a1＋6)2＝(a1＋2)(a1＋14),∴a1＝2.∴Sn＝2n＋×2＝2n＋n2－n
8、＝n(n＋1)、3、等比数列{an}的前n项和为Sn,若2S4＝S5＋S6,则数列{an}的公比q的值为( )A、－2或1B、－1或2C、－2D、1答案 C解析 方法一 若q＝1,则S4＝4a1,S5＝5a1,S6＝6a1,显然不满足2S4＝S5＋S6,故A、D错、若q＝－1,则S4＝S6＝0,S5＝a5≠0,不满足条件,故B错,因此选C.方
