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《高考数学必考题型解析几何 (6)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第34练 双曲线的渐近线和离心率题型一 双曲线的渐近线问题例1 (2013·课标全国Ⅰ)已知双曲线C：－＝1(a>0,b>0)的离心率为,则C的渐近线方程为( )A、y＝±xB、y＝±xC、y＝±xD、y＝±x破题切入点 根据双曲线的离心率求出a和b的比例关系,进而求出渐近线、答案 C解析 由e＝＝知,a＝2k,c＝k(k∈R＋),由b2＝c2－a2＝k2,知b＝k.所以＝.即渐近线方程为y＝±x.故选C.题型二 双曲线的离心率问题例2 已知O为坐标原点,双曲线－＝1(a>0,b>0)的右焦点为F,以OF为直径作圆与双曲线的渐近线交于异于原点的两点A
2、,B,若(＋)·＝0,则双曲线的离心率e为( )A、2B、3C.D.破题切入点 数形结合,画出合适图形,找出a,b间的关系、答案 C解析 如图,设OF的中点为T,由(＋)·＝0可知AT⊥OF,又A在以OF为直径的圆上,∴A,又A在直线y＝x上,∴a＝b,∴e＝.题型三 双曲线的渐近线与离心率综合问题例3 已知A(1,2),B(－1,2),动点P满足⊥.若双曲线－＝1(a>0,b>0)的渐近线与动点P的轨迹没有公共点,则双曲线离心率的取值范围是________、破题切入点 先由直接法确定点P的轨迹(为一个圆),再由渐近线与该轨迹无公共点得到不等关系,进
3、一步列出关于离心率e的不等式进行求解、答案 (1,2)解析 设P(x,y),由题设条件,得动点P的轨迹为(x－1)(x＋1)＋(y－2)·(y－2)＝0,即x2＋(y－2)2＝1,它是以(0,2)为圆心,1为半径的圆、又双曲线－＝1(a>0,b>0)的渐近线方程为y＝±x,即bx±ay＝0,由题意,可得>1,即>1,所以e＝<2,又e>1,故11的条件,常用到数形结合、(2)在求双曲线的渐近线方程时要掌握其
4、简易求法、由y＝±x⇔±＝0⇔－＝0,所以可以把标准方程－＝1(a>0,b>0)中的“1”用“0”替换即可得出渐近线方程、双曲线的离心率是描述双曲线“张口”大小的一个数据,由于＝＝,当e逐渐增大时,的值就逐渐增大,双曲线的“张口”就逐渐增大、1、已知双曲线－＝1(a>0,b>0)以及双曲线－＝1的渐近线将第一象限三等分,则双曲线－＝1的离心率为( )A、2或B.或C、2或D.或答案 A解析 由题意,可知双曲线－＝1的渐近线的倾斜角为30°或60°,则＝或.则e＝＝＝＝＝或2,故选A.2、已知双曲线C：－＝1(a>0,b>0)的左,右焦点分别为F1,F
5、2,过F2作双曲线C的一条渐近线的垂线,垂足为H,若F2H的中点M在双曲线C上,则双曲线C的离心率为( )A.B.C、2D、3答案 A解析 取双曲线的渐近线y＝x,则过F2与渐近线垂直的直线方程为y＝－(x－c),可解得点H的坐标为,则F2H的中点M的坐标为,代入双曲线方程－＝1可得－＝1,整理得c2＝2a2,即可得e＝＝,故应选A.3、(2014·绵阳模拟)已知双曲线－＝1(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切,且双曲线的右焦点为圆C的圆心,则该双曲线的方程为( )A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1答案 A解析
6、 ∵双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x,圆C的标准方程为(x－3)2＋y2＝4,∴圆心为C(3,0)、又渐近线方程与圆C相切,即直线bx－ay＝0与圆C相切,∴＝2,∴5b2＝4a2.①又∵－＝1的右焦点F2(,0)为圆心C(3,0),∴a2＋b2＝9.②由①②得a2＝5,b2＝4.∴双曲线的标准方程为－＝1.4、已知双曲线－＝1(a>0,b>0)的左,右焦点分别为F1(－c,0),F2(c,0),若双曲线上存在点P使＝,则该双曲线的离心率的取值范围是( )A、(1,＋1)B、(1,)C、(,＋∞)D、(＋1,＋∞)答案 A解析 根据正弦定理得＝,由
7、＝,可得＝,即＝＝e,所以
8、PF1
9、＝e
10、PF2
11、.因为e>1,所以
12、PF1
13、>
14、PF2
15、,点P在双曲线的右支上、又
16、PF1
17、－
18、PF2
19、＝e
20、PF2
21、－
22、PF2
23、＝
24、PF2
25、(e－1)＝2a,解得
26、PF2
27、＝.因为
28、PF2
29、>c－a(不等式两边不能取等号,否则题中的分式中的分母为0,无意义),所以>c－a,即>e－1,即(e－1)2<2,解得e<＋1.又e>1,所以e∈(1,＋1)、5、(2014·湖北)已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且∠F1PF2＝,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )A.B.C、3D、
30、2答案 A解析 设
31、PF1
32、＝r1,
33、PF2
34、＝r2(r1>r2),
35、F1F2
36、＝2c,椭圆长
