高考数学必考题型函数与导数 (6)

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1、第17练　导数的综合应用题型一　利用导数研究函数图象例1　函数f(x)＝x2sinx＋xcosx的图象大致是(　　)破题切入点　利用导数确定函数的单调性、答案　A解析　方法一　因为f(－x)＝x2sin(－x)－xcosx＝－f(x),所以函数f(x)＝x2sinx＋xcosx为奇函数,图象关于原点对称,排除C,D,又当00,所以选择A.方法二　因为f(－x)＝x2sin(－x)－xcosx＝－f(x),所以函数f(x)＝x2sinx＋xcosx为奇函数,图象关于原点对称,排除C,D,又f′(x)＝xsinx＋x2cosx＋cos

2、x－xsinx＝(x2＋1)cosx,所以当00,函数单调递增,排除B,选择A.题型二　利用导数研究函数的零点或方程的根例2　设函数f(x)＝x3－ax2－ax,g(x)＝2x2＋4x＋c.(1)试判断函数f(x)的零点个数；(2)若a＝－1,当x∈[－3,4]时,函数f(x)与g(x)的图象有两个公共点,求c的取值范围、破题切入点　(1)对f(x)求导找出极值点、对a讨论看图象与x轴交点的个数、(2)结合两个函数的图象求解、解　(1)f(x)＝x3－ax2－ax＝x(x2－ax－a),令f(x)＝0,得x＝0或x2－ax－a＝

3、0.(*)显然方程(*)的根的判别式Δ＝(－a)2－4××(－a)＝a2＋a＝a(a＋)、当a<－或a>0时,Δ>0,方程(*)有两个非零实根,此时函数f(x)有3个零点；当a＝－时,Δ＝0,方程(*)有两个相等的非零实根,此时函数f(x)有2个零点；当a＝0时,Δ＝0,方程(*)有两个相等的零实根,此时函数f(x)有1个零点；当－0时,函数f(x)有3个零点；当a＝－时,函数f(x)有2个零点；当－

4、x),则x3－ax2－ax＝2x2＋4x＋c,因为a＝－1,所以c＝x3－x2－3x.设F(x)＝x3－x2－3x,x∈[－3,4],则F′(x)＝x2－2x－3,令F′(x)＝0,解得x1＝－1,x2＝3.当x变化时,F′(x)和F(x)的变化如下表：x－3(－3,－1)－1(－1,3)3(3,4)4F′(x)＋＋0－0＋＋F(x)－9－9－由此可知F(x)在[－3,－1],[3,4]上是增函数,在[－1,3]上是减函数、当x＝－1时,F(x)取得极大值F(－1)＝；当x＝3时,F(x)取得极小值F(3)＝－9,而F(－3)＝－9,F(4)＝

5、－.如果函数f(x)与g(x)的图象有两个公共点,则函数F(x)与y＝c的图象有两个公共点,所以－0；②f(0)f(1)<0；③f(0)f(3)>0；④f(0)f(3)<0.其中正确结论的序号是(　　)A、①③B、①④C、②③D、②④答案　C解析　f(x)＝x3－6x2＋9x－abc,a<

6、b0,f(3)＝27－54＋27－abc＝－abc<0,且f(0)＝－abc＝f(3)<0,所以f(0)f(1)<0,f(0)f(3)>0.2.若函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示,则y＝f(x)的图象可能为(　　)答案　C解析　根据f′(x)的符号,f(x)图象应该是先下降后上升,最后下降,排除A,D；从适合f′(x)＝0的点可以排除B.3、已知a≤＋

7、lnx对任意x∈[,2]恒成立,则a的最大值为(　　)A、0B、1C、2D、3答案　A解析　设f(x)＝＋lnx,则f′(x)＝＋＝.当x∈[,1)时,f′(x)<0,故函数f(x)在[,1)上单调递减；当x∈(1,2]时,f′(x)>0,故函数f(x)在(1,2]上单调递增,∴f(x)min＝f(1)＝0,∴a≤0,即a的最大值为0.4、已知函数f(x)的图象如图所示,f′(x)是f(x)的导函数,则下列数值排序正确的是(　　)A、0

8、′(2)