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1、--2004年全国高中数学联合竞赛试题第一试时间：10月16日一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1、设锐角使关于x的方程x24xcoscot0有重根，则的弧度数为（）A.B.5C.5D.oror61212612122、已知M{(x,y)
2、x22y23},N{(x,y)
3、ymxb}。若对所有----mR,均有MN，则b的取值范围是（）----66B.66C.(23232323A.,,23,]D.3,222333、不等式log2x11log1x320的解集为（）22A.[2,3)B.(2,3]C.[2,4)D.(2,4]4、设O点在ABC内部，且有OA2OB3OC0，则ABC的面积与AOC
4、的面积的比为（）A.2B.3C.3D.5235、设三位数nabc，若以a，b，c为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数n有（）A.45个B.81个C.165个D.216个6、顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A是底面圆周上的点，B是底面圆内的点，O为底面圆的圆心，ABOB，垂足为B，OHPB，垂足为H，且PA=4，C为PA的中点，则当三棱锥O－HPC的体积最大时，OB的长是（）5B.256D.26A.3C.333二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7、在平面直角坐标系xoy中，函数f(x)asinaxcosax(a0)在一个最小正周期长的区间上的图像与函数g(x
5、)a21的图像所围成的封闭图形的面积是________________。----8、设函数f:RR,满足f(0)1，且对任意x,yR,都有----f(xy1)f(x)f(y)f(y)x2，则f(x)=_____________________。----D1C19、如图、正方体ABCDA1B1C1D1中，A1B1二面角ABD1A1的度数是____________。FEDCABk使得k210、设p是给定的奇质数，正整数pk也是一个正整数，则k=____________。11、已知数列a0,a1,a2,...,an,...,满足关系式(3an1)(6an)18,且a03，则n1的值ioai是____
6、_____________________。12、在平面直角坐标系XOY中，给定两点M（－1，2）和N（1，4），点P在X轴上移动，当MPN取最大值时，点P的横坐标为___________________。三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13、一项“过关游戏”规则规定：在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于2n，则算过关。问：（Ⅰ）某人在这项游戏中最多能过几关？（Ⅱ）他连过前三关的概率是多少？（注：骰子是一个在各面上分别有1，2，3，4，5，6点数的均匀正方体。抛掷骰子落地静止后，向上一面的点数为出现点数。）414、在平面直角坐标系xoy中，给定三点A(0,)
7、,B(1,0),C(1,0)，点P到直线BC的距离3是该点到直线AB，AC距离的等比中项。（Ⅰ）求点P的轨迹方程；（Ⅱ）若直线L经过ABC的内心（设为D），且与P点的轨迹恰好有3个公共点，求L的斜率k的取值范围。15、已知,是方程4x24tx10(tR)的两个不等实根，函数f(x)2xt的定义x21域为,。（Ⅰ）求g(t)maxf(x)minf(x)；（Ⅱ）证明：对于ui(0,)(i1,2,3)，若sinu1sinu2sinu31,2----11则g(tanu2)g(tanu1)13g(tanu3)6。4----二○○四年全国高中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：1、评阅试卷时，请依据
8、本评分标准。选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其他中间档次。2、如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时可参照本评分标准适当划分档次评分，5分为一个档次，不要再增加其他中间档次。一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1、解：因方程x24xcoscot0有重根，故16cos24cot00,4cot(2sin21)0得sin2122552或2，于是或。故选B。661212----2、解：MN相当于点（0，b）在椭圆x22y23上或它的内部----2b266故选A。1,b。3223、解：原
9、不等式等价于log2x13log2x310222log2x10t,则有t3t210设log2x122解得0t1。t0即0log2x11,2x4。故选C。----4、解：如图，设D，E分别是AC，BC边的中点，A----OAOC2OD(1)则2(OBOC)4OE(2)D由（1）（2）得，----OA2OB3OC2(OD2OE)0，O----即OD与OE共线，----BEC----且
10、OD
11、2
12、
