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1、2011年全国高中数学联赛一试一、填空题（每小题8分，共64分）1．设集合，若中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为，则集合．2．函数的值域为．3．设为正实数，，，则．4．如果，，那么的取值范围是．5．现安排7名同学去参加5个运动工程，要求甲、乙两同学不能参加同一个工程，每个工程都有人参加，每人只参加一个工程，则满足上述要求的不同安排方案数为．（用数字作答）6．在四面体ABCD中，已知，，，则四面体的外接球的半径为．7．直线与抛物线交于A,B两点，C为抛物线上的一点，，则点的坐标为．8．已知C，则数列中整数项的个数为．二、解答题（本大题共3
2、小题，共56分）9．（16分）设函数，实数满足，，求的值．10．（20分）已知数列满足：R且，N．（1）求数列的通项公式；（2）若，试比较与的大小．yxOPAB11．（本小题满分20分）作斜率为的直线与椭圆：交于两点（如图所示），且在直线的左上方．10/10（1）证明：△的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若，求△的面积．解答1．.提示：显然，在的所有三元子集中，每个元素均出现了3次，所以，故，于是集合的四个元素分别为5－（－1）＝6，5－3＝2，5－5＝0，5－8＝－3，因此，集合．2．.提示：设，且，则．设，则，且，所以．3．-1.提示：
3、由，得．又，即．①于是．②再由不等式①中等号成立的条件，得．与②联立解得或故．4．.提示：不等式等价于.10/10又是上的增函数，所以，故Z)．因为，所以的取值范围是．5．15000.提示：由题设条件可知，满足条件的方案有两种情形：（1）有一个工程有3人参加，共有种方案；（2）有两个工程各有2人参加，共有种方案；所以满足题设要求的方案数为．6．.提示：设四面体的外接球球心为，则在过△的外心且垂直于平面的垂线上．由题设知，△是正三角形，则点为△的中心．设分别为的中点，则在上，且，．因为，设与平面所成角为，可求得．ABCDOPMN在△中，．由余弦
4、定理得，故．四边形的外接圆的直径．故球的半径．7．或．提示：设，由得，则，．又，所以，．10/10因为，所以，即有，即，即，即．显然，否则，则点在直线上，从而点与点或点重合．所以，解得．故所求点的坐标为或．8．15.提示：C．要使为整数，必有均为整数，从而．当2,8,14,20,26,32,38,44,50,56,62,68,74,80时，和均为非负整数，所以为整数，共有14个．当时，C，在C中，中因数2的个数为，同理可计算得中因数2的个数为82，中因数2的个数为110，所以C中因数2的个数为，故是整数．当时，C，在C中，同样可求得中因数2的
5、个数为88,中因数2的个数为105,故C中因数2的个数为，故不是整数．因此，整数项的个数为．9．因为，所以，10/10所以或，又因为，所以，所以．又由有意义知，从而，于是．所以．从而．又，所以，故．解得或（舍去）．把代入解得．所以，．10．（1）由原式变形得，则．记，则，．又，从而有，故，于是有．（2）10/10，显然在时恒有，故．11．（1）设直线：，．将代入中，化简整理得．于是有，．则，上式中，分子，从而，．又在直线的左上方，因此，的角平分线是平行于轴的直线，所以△的内切圆的圆心在直线上．（2）若时，结合（1）的结论可知．直线的方程为：，
6、代入中，消去得．10/10它的两根分别是和，所以，即．所以．同理可求得．所以．加试1.（40分）如图，分别是圆内接四边形的对角线的中点．若，证明：．2.（40分）证明：对任意整数，存在一个次多项式具有如下性质：（1）均为正整数；（2）对任意正整数，及任意个互不相同的正整数，均有．3.（50分）设是给定的正实数，．对任意正实数，满足的三元数组的个数记为．证明：．4.（50分）设A是一个的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数．称A中的一个方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍数．称A中的一个的小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩
7、形”．求A中“坏格”个数的最大值．10/10解答1.延长线段与圆交于另一点，则，又是线段的中点，故，从而．又，所以△∽△，于是，即.从而有，即．又，所以△ABQ∽△ACD，所以．延长线段与圆交于另一点，则，故．又因为为的中点，所以．又，所以．2.令，①将①的右边展开即知是一个首项系数为1的正整数系数的次多项式．下面证明满足性质（2）．对任意整数，由于，故连续的个整数中必有一个为4的倍数，从而由①知．因此，对任意个正整数，有．但对任意正整数，有，故，从而．所以符合题设要求．3.对给定的，满足，且10/10①的三元数组的个数记为．注意到，若固定，
8、则显然至多有一个使得①成立．因，即有种选法，故．同样地，若固定，则至多有一个使得①成立．因，即有种选法，故．从而．因此，当为偶数时，设，则有．当为奇数时，设，则有．
