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《高中数学第一1.1.3三个正数的算术_几何平均不等式例题与探究新人教选修》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、1.1.3三个正数的算术—几何平均不等式典题精讲【例1】已知x∈R+，求函数y=x(1-x2)的最大值.思路分析：为使数的“和”为定值，可以先平方，即y2=x2(1-x2)2=x2(1-x2)(1-x2)=2x2(1-x2)(1-x2)×.最先求出最值后再开方.解：∵y=x(1-x2),∴y2=x2(1-x2）2=2x2(1-x2)(1-x2)·.∵2x2+(1-x2)+(1-x2)=2,∴y2≤.当且仅当2x2=1-x2=1-x2,即x=时取“=”号.∴y≤.∴y的最大值为.黑色陷阱：拼凑数学结构，以便能利用均值不等式求最值，是必须掌握的一种解题方法，但拼凑要合理，且要符合适用的条件，对
2、于本题，有的学生可能这样去拼凑：y=x(1-x2)=x(1-x)(1+x)=·x(2-2x)(1+x)≤3=.虽然其中的拼凑过程保证了三个数的和为定值，但忽略了取“=”号的条件，显然x=2-2x=1+x无解，即无法取“=”号，也就是说，这种拼凑法是不对的.这就要求平时多积累一些拼凑方法的题型及数学结构，同时注意均值不等式的使用条件，三个缺一不可.【变式训练1】θ为锐角，求y=sinθ·cos2θ的最大值.思路分析：本题的目标函数为积结构，故应创设各因子的和为定值.要特别注意sin2θ+cos2θ=1的应用.解：y2=sin2θ·cos2θ·cos2θ=·2sin2θ(1-sin2θ)(1-
3、sin2θ)≤()3=.当且仅当2sin2θ=1-sin2θ,即sinθ=时取等号.此时ymax=.【变式训练2】已知x∈R+，求函数y=x2(1-x)的最大值.思路分析：本题积结构中x2=x·x,所以y=x2(1-x)=x×x(1-x),为使“和”为定值，还需拼凑系数.解：y=x2(1-x)=x·x(1-x)=x·x·(2-2x)×≤.当且仅当x=2-2x,即x=时取等号.此时,ymax=.【例2】已知n是大于1的自然数，求证：2n>1+.思路分析：2n>1+等价于2n-1>①根据等比数列的前n项和公式逆向联想到2n-1==1+2+22+…+2n-1.即①式也可表示为n个不同的数1，2，
4、22，…，2n-1之积，因此自然联想到；如果正好等于这几个正数之积的n次算术根，则①即可由均值不等式证得.证明：∵2n-1=1+2+22+…+2n-1>,∴2n>1+.绿色通道：在使用均值不等式的题目中，尤其对于n个正数的均值不等式，能够分析或观察到是n个正数的均不等式问题是解答的关键，这也需要对提供的条件代数式进行适当的变形.【变式训练】已知：a,b,c同号且互不相等，a+b+c=1,求证：++>9.思路分析：本题解法较多，已知条件中a+b+c可看作是“1”的代换，然后两两结合使用基本不等式，或者看作6个正数的均值不等式.证法一：++==1++++1++++1=(+)+(+)+(+)+3
5、.∵a,b,c同号，且a+b+c=1.∴a>0,b>0,c>0.∴,,,,,均大于0.又a,b,c互不相等，由基本不等式，得+>2,+>2,+>2.于是，左边>2+2+2+3=9.∴++>9.证法二：++==3+(+++++).∵a,b,c同号且a+b+c=1,∴a>0,b>0,c>0.∴,,,,,均大于0，又a,b,c互不相等.由6个正数的均值不等式，得左边=3+(+++++)≥3+=3+6=9.∴++=9.问题探究问题：制作一个圆柱形的饮料盒，如果容积一定，怎样设计它的尺寸，才能使所用的材料最少？导思：所用的材料最少的本质是什么意思？或者说从数学的角度来说是什么意思？分析出来，实质是表
6、面积最小.探究：已知量：体积V.需设量：底半径r,高h.最终要研究的量：表面积S.关系式：S=2πr2+2πrh.=2πr2+.=2πr2+≥.即当2πr2=,r=时表面积最小.此时h=2r.即饮料盒的底面半径为r=,高度为2时，用料最省.
