【人教A版】高中数学选修4-5-1.1.3三个正数的算术-几何平均不等式.ppt

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1、3.三个正数的算术-几何平均不等式【自主预习】1.三个正数的算术-几何平均不等式(定理3)如果a,b,c∈R+,那么≥_______,当且仅当______时,等号成立.a=b=c2.基本不等式的推广对于n个正数a1,a2,…,an,它们的算术平均不小于它们的几何平均,即___,当且仅当___________时,等号成立.≥a1=a2=…=an【即时小测】1.函数y=2x2+(x∈R+)的最小值为()A.6B.7C.8D.9【解析】选A.因为x∈R+,所以当且仅当x=1时等号成立.2.若n>0,则的最小值为()A.2B.4C.6

2、D.8【解析】选C.因为所以当且仅当n=4时等号成立.3.若a>b>0,则a+的最小值为_________.【解析】因为a>b>0,所以a-b>0,所以当且仅当(a-b)=b=时等号成立.答案:3【知识探究】探究点三个正数的算术-几何平均不等式1.不等式成立时,a,b,c的范围是什么?提示:a>0,b>0,c>0.2.应用三个正数的算术-几何平均不等式,求最值应注意什么?提示:三个正数的和为定值,积有最大值;积为定值,和有最小值.求最值时应注意三个条件“一正、二定、三相等”同时具备.【归纳总结】1.定理3的变形及结论(1)ab

3、c≤.(2)a3+b3+c3≥3abc.(3)上式中a,b,c均为正数,等号成立的条件均为a=b=c.2.利用定理3可确定代数式或函数的最值(1)若a,b,c∈R+,且积abc为定值s时,由a+b+c≥(定值),当且仅当a=b=c时,和a+b+c有最小值3.(2)若a,b,c∈R+,且和a+b+c为定值p时,由abc≤(定值),当且仅当a=b=c时,积abc有最大值p3.类型一利用三个正数的算术-几何平均不等式求最值【典例】1.求函数y=(1-3x)2·x的最大值.2.求函数y=x+(x>1)的最小值.【解题探究】1.典例1中

4、如何构造式子,使其和为定值?提示:可将式子(1-3x)2·x化为(1-3x)(1-3x)·6x的形式.2.典例2中如何构造式子,使其积为定值?提示:可将式子x+化为则其积为常数.【解析】1.因为00,所以y=(1-3x)2·x=(1-3x)·(1-3x)·6x当且仅当1-3x=1-3x=6x,即x=时等号成立,此时ymax=.2.因为x>1,所以x-1>0,当且仅当即x=3时等号成立,即ymin=4.【延伸探究】1.若将典例1中的条件变为“y=x(1-x2)(0

5、为y=x(1-x2),所以y2=x2(1-x2)2=2x2(1-x2)(1-x2)·当且仅当2x2=1-x2=1-x2,即x=时,等号成立,所以y≤,ymax=.2.若将典例1条件变为“x,y∈R+且x2y=4”,如何求x+y的最小值?【解析】因为x,y∈R+且x2y=4,所以x+y=当且仅当=y时等号成立,又x2y=4,所以当x=2,y=1时,x+y取最小值3.【方法技巧】用平均不等式求最值的注意点(1)应用平均不等式,要注意三个条件,即“一正、二定、三相等”同时具备时,方可取得最值.其中定值条件决定着平均不等式应用的可行性

6、,获得定值需要一定的技巧,如配系数、拆项、分离常数、平方变形等.(2)当不具备使用平均不等式的条件时,求函数的最值可考虑利用函数的单调性.【变式训练】1.如图,一块曲线部分是抛物线形的钢板,其底边长为2,高为1,将此钢板切割成等腰梯形的形状,记CD=2x,梯形面积为S,则S的最大值是_________.【解析】建立如图所示的坐标系,设抛物线的标准方程为x2=-2py(p>0),则B(1,-1),代入抛物线方程可得2p=1,所以抛物线方程为x2=-y,因为CD=2x,所以D(x,-x2),所以梯形的高为1-x2,梯形的面积为S=

7、(x+1)(1-x2),x∈(0,1),S=(x+1)(1-x2)=(x+1)2(2-2x)≤当且仅当x+1=2-2x,即x=时,S的最大值是.答案:2.已知x>0,求y=+3x的最小值.【解析】因为x>0,所以y=当且仅当即x=2时等号成立.故y=+3x的最小值为9.类型二利用三个正数的算术-几何平均不等式证明不等式【典例】设a,b,c为正实数,求证:a3+b3+c3+【解题探究】典例可分几次使用不等式?提示:分两次使用不等式.【证明】因为a,b,c为正实数,所以a3+b3+c3≥=3abc>0,当且仅当a=b=c时,等号成

8、立.又3abc+当且仅当3abc=时,等号成立.所以a3+b3+c3+【方法技巧】证明不等式的方法(1)首先观察所要证的式子结构特点及题目所给条件,看是否满足“一正、二定、三相等”的条件.若满足即可利用平均不等式证明.(2)若题目不满足该条件,则可灵活利用已知条件构造出能利用