高中数学第三章三角恒等变换3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式导学案

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1、3.1.3　二倍角的正弦、余弦、正切公式1．会推导二倍角的正弦、余弦、正切公式．2．灵活应用二倍角的正弦、余弦、正切公式解决有关的求值、化简、证明等问题．二倍角的正弦、余弦、正切公式如下表三角函数公式简记正弦sin2α＝________S(α＋β)S2α余弦cos2α＝cos2α－sin2α＝________＝________C(α＋β)C2α正切tan2α＝________T(α＋β)T2α对倍角公式的理解：(1)成立的条件：在公式S2α，C2α中，角α可以为任意角，T2α则只有当α≠＋(k∈Z)时才成立．(2)倍角公式不仅限于2α是α的二倍形式，其他如4α是2α的二倍、α是的

2、二倍、3α是的二倍等等都是适用的．【做一做1－1】已知sinα＝，cosα＝，则sin2α等于(　　)A.B.C.D.【做一做1－2】已知cosα＝，则cos2α等于(　　)A.B.C．－D.【做一做1－3】已知tanα＝3，则tan2α等于(　　)A．6B．－C．－D.答案：2sinαcosα　2cos2α－1　1－2sin2α　【做一做1－1】D　sin2α＝2sinαcosα＝.【做一做1－2】C　cos2α＝2cos2α－1＝－1＝－.【做一做1－3】B　tan2α＝＝＝－.倍角公式的变形公式剖析：(1)公式的逆用：2sinαcosα＝sin2α；sinαcosα＝sin

3、2α；cosα＝；cos2α－sin2α＝cos2α；＝tan2α.(2)公式的有关变形：1±sin2α＝sin2α＋cos2α±2sinαcosα＝(sinα±cosα)2；1＋cos2α＝2cos2α；1－cos2α＝2sin2α；cos2α＝；sin2α＝.(3)升幂和降幂公式升幂公式：1＋sinα＝2；1－sinα＝2；1＋cosα＝2cos2；1－cosα＝2sin2.降幂公式：cos2α＝；sin2α＝.题型一利用二倍角公式求值【例1】求下列各式的值：(1)coscos；(2)－cos2；(3)tan－.分析：第(1)题可根据是的2倍构造二倍角的公式求值；第(2)(3

4、)题需将所求的式子变形，逆用二倍角公式化简求值．反思：解决此类题目时，应善于观察三角函数式的特点，变形后正用或逆用公式来解决．本题中，若要求出cos，cos，cos，tan的值，则会使问题复杂化．题型二知值求值【例2】已知sinα＝，α∈，求sin2α，cos2α，tan2α的值．分析：利用同角三角函数的基本关系求出cosα的值，然后利用二倍角公式求出sin2α，cos2α，进而求出tan2α的值．反思：已知α的某个三角函数值，求sin2α，cos2α，tan2α值的步骤：(1)利用同角三角函数基本关系式求出α的其他三角函数值；(2)代入S2α，C2α，T2α计算即可．题型三二倍

5、角公式在三角形中的应用【例3】在△ABC中，cosB＝，tanC＝，求tan(B＋2C)的值．分析：求出tanB和tan2C的值，再用和角的正切公式求值．反思：在三角形中讨论三角函数问题时，要注意各内角的范围是(0，π)．本题若忽视这一点，则易错得sinB＝±.题型四易错辨析【例4】化简(3π＜α＜4π)．错解：原式＝＝＝＝＝＝2sin.错因分析：上述错解在运用倍角公式从里到外去掉根号时，没有顾及角的范围而选择正、负号，只是机械地套用公式．反思：利用二倍角公式化简时，由于1＋cosα＝2cos2，1－cosα＝2sin2，则＝，＝，要根据所在象限确定sin，cos的符号，从而去掉

6、绝对值符号．答案：【例1】解：(1)原式＝＝＝＝＝.(2)原式＝＝－＝－cos＝－.(3)原式＝＝－2×＝－2×＝＝－2.【例2】解：∵sinα＝，α∈，∴cosα＝－＝－＝－.∴sin2α＝2sinαcosα＝2××＝－，cos2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝，tan2α＝＝－×＝－.【例3】解：∵0＜B＜π，∴sinB＝＝.∴tanB＝＝.又tan2C＝＝＝，∴tan(B＋2C)＝＝＝－.【例4】正解：因为3π＜α＜4π，所以＜＜2π，＜＜π，＜＜，则cos＞0，cos＜0，cos＞0.所以原式＝＝＝＝＝＝2cos.1．－sin215°的值是(　　)A.B.C.D.2．已

7、知α为第二象限角，且sinα＝，则sin2α＝__________.3．＝__________.4．在△ABC中，cosA＝，则sin2A＝__________.5．已知cosα＝，α∈，求sin2α，cos2α，tan2α的值．答案：1．D　原式＝－＝＝.2．　由于α为第二象限角，则cosα＝＝，则sin2α＝2sinαcosα＝.3.　原式＝×＝＝＝.4.　∵0＜A＜π，∴sinA＝＝.∴sin2A＝2sinAcosA＝.5．解：∵cosα＝，α∈，∴sinα＝＝＝.∴sin