高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.1.1实数系3.1.2复数的引入第1课时复数系学案新人教B版

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1、3.1.1　实数系3.1.2　复数的引入第1课时　复数系学习目标核心素养1．了解数系的扩充过程.2．理解复数相等的基本概念及复数相等的充要条件．(重点)3．掌握复数的代数形式，分类等有关概念．(难点、易混点)通过复数的引入及相关概念的学习，培养学生的数学抽象素养.一、复数的有关概念1．复数(1)定义：设a，b都是实数，形如a＋bi的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1，a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部．(2)表示方法：复数通常用小写字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式．2．复数集(1)定义：全体复数所构成的集合

2、叫做复数集．(2)表示：通常用大写字母C表示．3．复数相等的充要条件设a，b，c，d都是实数，则a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d，a＋bi＝0⇔a＝0且b＝0.二、复数的分类1．复数z＝a＋bi(a，b∈R)2．复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系：1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数．(　　)(2)若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数．(　　)(3)两个虚数不能比较大小．(　　)[解析]　(1)错误．若b＝0，则z＝a＋bi为实数．(2)错误．当a＝－1时，(a＋1)i不是纯虚数．(3)正确．[答案]　(

3、1)×　(2)×　(3)√2．若复数2－bi(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则b的值为(　　)A．－2　　　B．　　　C．－　　　D．2[解析]　2－bi的实部为2，虚部为－b，由题意知2＝－(－b)，所以b＝2.[答案]　D3．已知(2m－5n)＋3i＝3n－(m＋5)i，m，n∈R，则m＋n＝________.[解析]　由复数相等的条件，得解得∴m＋n＝－10.[答案]　－10复数的有关概念【例1】　(1)下列命题中，真命题的个数是(　　)①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；②若a，b∈R且a>b，则a＋i>b＋i；③若x2＋y2

4、＝0，则x＝y＝0.A．0　　B．1　　　　C．2　　　　D．3(2)给出下列三个命题：①若z∈C，则z2≥0；②2i－1虚部是2i；③2i的实部是0.其中真命题的个数为(　　)A．0B．1C．2D．3[思路探究]　首先将所给的复数化简为复数的代数形式，然后根据实部与虚部的概念确定实部、虚部．[解]　(1)①由于x，y∈C，所以x＋yi不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，所以①是假命题．②由于两个虚数不能比较大小，所以②是假命题．③当x＝1，y＝i时，x2＋y2＝0成立，所以③是假命题．(2)对于①，当z∈R时，z2≥0成立，否则不成立，如z＝

5、i，z2＝－1<0，所以①为假命题；对于②，2i－1＝－1＋2i，其虚部为2，不是2i，所以②为假命题；对于③，2i＝0＋2i,其实部是0，所以③为真命题．[答案]　(1)A　(2)B正确理解复数的有关概念是解答复数概念题的关键，另外在判断命题的正确性时，需通过逻辑推理加以证明，但否定一个命题的正确性时，只需举一个反例即可，所以在解答这类题型时，可按照“先特殊，后一般”、“先否定，后肯定”的方法进行解答.1．复数a＋bi(a，b∈R)为纯虚数是a＝0的________条件．[解析]　若a＋bi为纯虚数，则必有a＝0，故为充分条件；但若a＝0且b＝0时，a＋b

6、i＝0为实数，故不是必要条件．[答案]　充分不必要复数的分类【例2】　已知复数z＝＋(a2－5a－6)i(a∈R)，试求实数a分别取什么值时，z分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．[思路探究]　根据复数z为实数、虚数及纯虚数的充要条件列方程(不等式)组求解．[解]　(1)当z为实数时，则∴∴当a＝6时，z为实数．(2)当z为虚数时，则∴∴当a≠±1且a≠6时，z为虚数．(3)当z为纯虚数时，则∴∴不存在实数a使z为纯虚数．若本例中的复数z改为“z＝lg(m2＋2m＋1)＋(m2＋3m＋2)i”，如何求解相应的问题？[解]　(1)由得m＝－2，∴当m

7、＝－2时，z是实数．(2)由得m≠－1且m≠－2，∴当m≠－1且m≠－2时，z是虚数．(3)由题意得即解得m＝0.∴当m＝0时，z是纯虚数．利用复数的代数形式对复数分类时，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式(等式或不等式(组)))，求解参数时，注意考虑问题要全面.复数相等的条件【例3】　已知2x－1＋(y＋1)i＝x－y＋(－x－y)i，求实数x，y的值．[思路探究]　根据复数相等的充要条件列方程组求解．[解]　∵x，y为实数，∴2x－1，y＋1，x－y，－x－y均为实数．由复数相等的定义知∴应用复数相等的充要条件时，要注意：(1)必须是复数的代

8、数形式才可以根据实部与实部的相等，虚部与虚部相等列方