D7-1参数的概念与点估计

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1、第七章参数估计概率矩估计估计量评选的标准参数估计区间估计第七章第七章上一章，我们讲了数理统计的基本概念，从这一章开始，我们研究数理统计的重要内容之一即统计推断。所谓统计推断，就是根据从总体中抽取得的一个简单随机样本对总体进行分析和推断。即由样本来推断总体，或者由部分推断总体。这就是数理统计学的核心内容。它的基本问题包括两大类问题，一类是估计理论；另一类是假设检验。而估计理论又分为参数估计与非参数估计，参数估计又分为点估计和区间估计两种，这里我们主要研究参数估计这一部分数理统计的内容。第一节参数估计的

2、概念第七章统计推断的目的，是由样本推断出总体的具体分布.一般来说，要想得到总体的精确分布是十分困难的.在上一章里，介绍了经验分布可以作为总体的一个近似解，但是只有样本容量n无限大时经验分布故以概率１一致收敛于总体的分布函数.而在实际问题中样本容量n不允许很大.我们已经学习了中心极限定理，可以断定在某些条件下的分布为正态分布；也可以根据样本观测值先对总体分布类型作出检验和判断（下一章介绍），这种方法可以得到总体的分布类型，其中有一个或几个参数.另外，有些统计推断问题，我们不关心其分布类型，只关心其某些

3、数学特征，如期望、方差等，通常把这些数学特征了称为参数.这时抽样的目的就是为了解出这些参数.参数.估计参数.例1：设某总体，试由样本来估计例2：设某总体，试由样本来上述二例中，记为.如:例1中的而例2中的定义１:中提取有关总体的信息，出统计量的观测值，相应待估参数的值.称为参数的估计量,估计值.围，把参数的取值范围称为参数空间，可以确定出参数的取值范数的性质和实际问题，是指从样本所谓参数估计，，统计量求然后用样本值代入，用该值来作为且把统计量称为参数的把但根据参参数的取值虽未知，即构造样本的函数——

4、参数估计分为点估计和区间估计两从大类.①点估计:②区间估计：根据样本及样本值构造一统计量，计值,称点估计..内,构造两个统计量：使得待估参数以已知的较大的概率落在指对总体中的一维参数，为的区间估计.此时称指对总体分布中的参数，作为的估将为的点估计量,则称简记为第七章第二节点估计量的求法二、极大似然估计一、矩估计一、矩估计法：（K.Pearson提出）矩估计法是一种古老的估计方法.大家知道，矩是描写随机变量的最简单的数字特征.样本来自于总体，从前面可以看到样本矩在一定程度上也反映了总体矩的特征，因而自

5、然想到用样本矩作为总体矩的估计.的估计量,定义1:是其一个样本,得一个包含个未知数的方程组,的一组解,中解出用这个方程组的解分别作为该方法称为矩估计法.的观察值称为矩估计值.的情形）令从矩估计量这种估计量称为矩估计量，（一般我们只需掌握为总体的待估参数，假设例1:又设是来自总体的一个样本，的矩估计量.解:所以得因为而试求令的均值及方差都存在但均未知，设总体注：上述结果表明,总体均值与方差的矩估计量的表达式不会因总体的分布不同而异；同时，我们又注意到，总体均值是用样本均值来估计的，而总体方差（即总体的

6、二阶中心矩）却不是用样本方差来估计的，而是用样本二阶中心矩来估计.那么，能否用样本方差来估计总体方差呢？能的话，样本二阶中心矩与样本方差哪个更好？下节课将再作详细讨论.这样看来，虽然矩估计法计算简单，不管总体服从什么分布，都能求出总体矩的估计量，但它仍然存在着一定的缺陷：对于一个参数，可能会有多种估计量.比如下面的例子：求的一个样本,解:，例2：未知,是的矩估计量.由以上可看出，这里的一个待估参数有两个不同的矩估计量.这样，就会给应用带来不便，为此，R.A.Fisher提出了以下的改进的方法：，设二

7、、极大似然估计法：1、似然函数为样本的似然函数，即密度函数:定义2：设总体的分布密度函数为，其中（　　），为待估参数，（　　）我们称之为对数自然函数.上式两边取自然对数,得是来自总体的一个样本，则称样本的联合分布的，记为２、极大似然估计法这种方法的基本思想是利用“概率最大的事件最可能出现”，即我们认为所抽取的样本是出现的概率最大的样本.样本也是随机变量，其出现的概率是与其密度函数有关的，要使样本出现的概率最大，只有密度函数在样本取这一样本值时取最大值.这里样本的分布类型已知，所以概率只与待估参数有关

8、.极大似然估计就是利用：样本的密度函数（样本的似然函数）在样本取这一样本值时取最大值来估计参数.即把问题转化为求似然函数的最大值时待估参数的取值.(1)定义:,的极大似然估计.则称为(2)具体做法与步骤:①及样本的对数似然函数②当作自变量，求最大值点.对求导,上式称为似然方程,就是的极大似然估计.把待估参数利用高等数学里的知识，满足条件：若统计量，写出样本的似然函数得：对数似然函数当作目标函数，即：则其解若其有解，例3：未知，为的一个样本.的一个样本值，是解：所以似然