内蒙古中考数学重点题型专项训练 二次函数综合题

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1、二次函数综合题类型一与角度有关的问题★1.抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于点A,B(A在B的左侧),与y轴交于点C.(1)求直线BC的解析式;(2)抛物线的对称轴上存在点P,使∠APB=∠ABC,利用图①求点P的坐标;(3)点Q在y轴右侧的抛物线上,利用图②比较∠OCQ与∠OCA的大小,并说明理由.第1题图解:(1)当y=0时,得0=-x2+2x+3,解得x1=-1,x2=3,∴B点的坐标为(3,0),当x=0,得y=3,即C点坐标为(0,3),设直线BC的解析式为y=kx+3(k≠0),将点B(3,0)代入得0=3k+3,解得k=-1,∴直线BC的解析式为y=-x+3;(2)

2、由(1)可知OB=OC=3,∴△BOC为等腰直角三角形,∴∠ABC=45°,抛物线对称轴为x=1,设抛物线对称轴交直线BC于点D,交x轴于点E,当点P在x轴上方时,如解图①,第1题解图①∵∠APB=∠ABC=45°,且PA=PB,∴∠PBA=180°-45°=67.5°,2∠DPB=12∠APB=22.5°,∴∠PBD=67.5°-45°=22.5°,∴∠DPB=∠DBP,∴DP=DB,在Rt△BDE中,BE=DE=2,由勾股定理可得,BD=22,∴PE=2+22,∴P(1,2+22);当点P在x轴下方时,由对称性可知P点坐标为(1,-2-22),综上可知,抛物线的对称轴上存在点P

3、,使∠APB=∠ABC,P点坐标为(1,2+22)或(1,-2-22);(3)如解图②,作点A关于y轴对称的点F,点F的坐标为(1,0),则∠OCA=∠OCF,设直线CF的解析式为y=kx+b,把点C(0,3),F(1,0)代入求得k=-3,b=3,则直线CF的解析式为y=-3x+3,y=-3x+3联立y=-x2+2x+3,x1=0解得y1=3,x2=5y2=-12,直线CF与抛物线的交点坐标为(0,3)、(5,-12),第1题解图②设点Q的坐标为(a,-a2+2a+3),当0<a<5时,∠OCF<∠OCQ,则∠OCA<∠OCQ;当a=5时,∠OCF=∠OCQ,则∠OCA=∠OCQ

4、;当a>5时,∠OCF>∠OCQ,则∠OCA>∠OCQ.类型二线段及周长问题★1.如图,抛物线y=-14x2+bx+c的图象过点A(4,0),B(-4,-4),且抛物线与y轴交于点C,连接AB,BC,AC.(1)求抛物线的解析式;(2)点P是抛物线对称轴上的点,求△PBC周长的最小值及此时点P的坐标;(3)若E是线段AB上的一个动点(不与A、B重合),过E作y轴的平行线,分别交抛物线及x轴于F、D两点.请问是否存在这样的点E,使DE=2DF?若存在,请求出点E的坐标;若不存在,请说明理由.第1题图解:(1)∵抛物线y=-14x2+bx+c的图象经过点A(4,0),B(-4,-4),

5、ì-1´16+4b+c=0ì1ï4ïb=,2∴í1,解得íïïï-´16-4b+c=-4îc=2î4∴抛物线的解析式为y=-14x2+12x+2;(2)由抛物线y=-14x2+12x+2可得其对称轴为直线x=12-1=1,点C的坐标为(0,2),2´(-4)如解图,作点C关于对称轴x=1的点C′,则C′的坐标为(2,2),连接BC’;即BC′=(2+4)2+(2+4)2=62,BC′与对称轴的交点即为所求点P,连第1题解图接CP,此时△PBC的周长最小.设直线BC′的解析式为y=kx+m,∵点B(-4,-4),C′(2,2),∴íì2k+m=2,解得íìk=1,î-4k+m=-4î

6、m=0∴直线BC′的解析式为y=x,将x=1代入y=x,得y=1,∴点P坐标为(1,1).∴BC=42+(2+4)2=213.∵△PBC的周长为CP+BC+PB=BC+BC′,∴△PBC周长的最小值为213+62;(3)由点A(4,0),B(-4,-4)可得直线AB的解析式为y=12x-2,设点E(x,12x-2),其中-4

7、12x-2

8、=2-12x,DF=

9、-14x2+12x+2

10、,当2-12x=-12x2+x+4,即点F位于x轴上方,解得x1=-1,x2=4(舍去),将x=-1代入y=1x-2,得到y=-5,∴E(-1,-5)

11、,222当2-12x=12x2-x-4,即点F位于x轴下方,解得x1=-3,x2=4(舍去),将x=-3代入y=12x-2,得到y=-72,∴E(-3,-72).综上所述:点E的坐标为:(-1,-52),(-3,-72).★2.如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,直线y=-x+4与x轴交于点A,过点A的抛物线y=ax2+bx与直线y=-x+4交于另一点B,且点B的横坐标为1.(1)求抛物线的解析式;(2)点P是线段AB上一个动点(点P不与点A、B重合),过点P作

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