内蒙古中考数学重点题型专项训练 二次函数综合题

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1、二次函数综合题类型一与角度有关的问题★1.抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于点A，B(A在B的左侧)，与y轴交于点C.(1)求直线BC的解析式；(2)抛物线的对称轴上存在点P，使∠APB＝∠ABC，利用图①求点P的坐标；(3)点Q在y轴右侧的抛物线上，利用图②比较∠OCQ与∠OCA的大小，并说明理由．第1题图解：(1)当y＝0时，得0＝－x2＋2x＋3，解得x1＝－1，x2＝3，∴B点的坐标为(3，0)，当x＝0，得y＝3，即C点坐标为(0，3)，设直线BC的解析式为y＝kx＋3(k≠0)，将点B(3，0)代入得0＝3k＋3，解得k＝－1，∴直线BC的解析式为y＝－x＋3；(2)

2、由(1)可知OB＝OC＝3，∴△BOC为等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°，抛物线对称轴为x＝1，设抛物线对称轴交直线BC于点D，交x轴于点E，当点P在x轴上方时，如解图①，第1题解图①∵∠APB＝∠ABC＝45°，且PA＝PB，∴∠PBA＝180°－45°＝67.5°，2∠DPB＝12∠APB＝22.5°，∴∠PBD＝67.5°－45°＝22.5°，∴∠DPB＝∠DBP，∴DP＝DB，在Rt△BDE中，BE＝DE＝2，由勾股定理可得，BD＝22，∴PE＝2＋22，∴P(1，2＋22)；当点P在x轴下方时，由对称性可知P点坐标为(1，－2－22)，综上可知，抛物线的对称轴上存在点P

3、,使∠APB=∠ABC，P点坐标为(1，2＋22)或(1，－2－22)；（3）如解图②，作点A关于y轴对称的点F，点F的坐标为(1，0)，则∠OCA＝∠OCF，设直线CF的解析式为y＝kx＋b，把点C(0，3)，F(1，0)代入求得k＝－3，b＝3，则直线CF的解析式为y＝－3x＋3，y＝－3x＋3联立y＝－x2＋2x＋3，x1＝0解得y1＝3，x2＝5y2＝－12，直线CF与抛物线的交点坐标为(0，3)、(5，－12)，第1题解图②设点Q的坐标为(a，－a2＋2a＋3)，当0＜a＜5时，∠OCF＜∠OCQ，则∠OCA＜∠OCQ；当a＝5时，∠OCF＝∠OCQ，则∠OCA＝∠OCQ

4、；当a＞5时，∠OCF＞∠OCQ，则∠OCA＞∠OCQ.类型二线段及周长问题★1.如图，抛物线y＝－14x2＋bx＋c的图象过点A(4，0)，B(－4，－4)，且抛物线与y轴交于点C，连接AB，BC，AC.(1)求抛物线的解析式；(2)点P是抛物线对称轴上的点，求△PBC周长的最小值及此时点P的坐标；(3)若E是线段AB上的一个动点(不与A、B重合)，过E作y轴的平行线，分别交抛物线及x轴于F、D两点.请问是否存在这样的点E，使DE＝2DF？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.第1题图解：(1)∵抛物线y＝－14x2＋bx＋c的图象经过点A(4，0)，B(－4，－4)，

5、ì－1´16+4b+c=0ì1ï4ïb=，2∴í1，解得íïïï－´16-4b+c=-4îc=2î4∴抛物线的解析式为y＝－14x2＋12x＋2；（2）由抛物线y＝－14x2＋12x＋2可得其对称轴为直线x＝12－1＝1，点C的坐标为(0，2)，2´(－4)如解图，作点C关于对称轴x＝1的点C′，则C′的坐标为(2，2)，连接BC’；即BC′＝(2+4)2+(2+4)2＝62，BC′与对称轴的交点即为所求点P，连第1题解图接CP，此时△PBC的周长最小．设直线BC′的解析式为y＝kx＋m，∵点B(－4，－4)，C′(2，2)，∴íì2k+m=2，解得íìk=1，î-4k+m=-4î

6、m=0∴直线BC′的解析式为y＝x，将x＝1代入y＝x，得y＝1，∴点P坐标为(1，1)．∴BC＝42+(2+4)2=213.∵△PBC的周长为CP＋BC＋PB＝BC＋BC′，∴△PBC周长的最小值为213＋62；(3)由点A(4，0)，B(－4，－4)可得直线AB的解析式为y＝12x－2，设点E(x，12x－2)，其中－4

7、12x－2

8、＝2－12x，DF＝

9、－14x2＋12x＋2

10、，当2－12x＝－12x2＋x＋4，即点F位于x轴上方，解得x1＝－1，x2＝4(舍去)，将x＝－1代入y＝1x－2，得到y＝－5，∴E(－1，－5)

11、，222当2－12x＝12x2－x－4，即点F位于x轴下方，解得x1＝－3，x2＝4(舍去)，将x＝－3代入y＝12x－2，得到y＝－72，∴E(－3，－72)．综上所述：点E的坐标为：(－1，－52)，(－3，－72)．★2.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝－x＋4与x轴交于点A，过点A的抛物线y＝ax2＋bx与直线y＝－x＋4交于另一点B，且点B的横坐标为1.(1)求抛物线的解析式；(2)点P是线段AB上一个动点(点P不与点A、B重合)，过点P作