2019年高考数学大一轮复习 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 课时达标26 数系的扩充与复数的引入

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1、2019年高考数学大一轮复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入课时达标26数系的扩充与复数的引入[解密考纲]主要考查复数的四则运算，其中复数的除法运算是常考考点，多以选择题或填空题的形式出现．一、选择题1．(xx·全国卷Ⅱ)(1＋i)(2＋i)＝(　B　)A．1－i　　B．1＋3i　　C．3＋i　　D．3＋3i解析　依题意得(1＋i)(2＋i)＝2＋i2＋3i＝1＋3i.故选B．2．已知a，b∈R，i是虚数单位，若a－i与2＋bi互为共轭复数，则(a＋bi)2＝(　D　)A．5－4i　　B．

2、5＋4iC．3－4i　　D．3＋4i解析　根据已知得a＝2，b＝1，所以(a＋bi)2＝(2＋i)2＝3＋4i.3．i是虚数单位，若＝a＋bi(a，b∈R)，则lg(a＋b)的值是(　C　)A．－2　　B．－1C．0　　D．解析　∵＝＝－i＝a＋bi，∴∴lg(a＋b)＝lg1＝0.故选C．4．已知复数z＝(a2－1)＋(a－1)i(a∈R)是纯虚数，则a＝(　C　)A．0　　B．1C．－1　　D．±1解析　由题意得解得a＝－1.5．满足＝i(i为虚数单位)的复数z＝(　B　)A．＋i　　B．－

3、iC．－＋i　　D．－－i解析　去掉分母，得z＋i＝zi，所以(1－i)z＝－i，解得z＝＝－i.故选B．6．已知复数z＝1＋ai(a∈R)(i是虚数单位)，＝－＋i，则a＝(　B　)A．2　　B．－2C．±2　　D．－解析　由题意可得＝－＋i，即＝＝－＋i，∴＝－，＝，∴a＝－2.故选B．二、填空题7．(xx·天津卷)已知a∈R，i为虚数单位，若为实数，则a的值为__－2__.解析　因为＝＝为实数，所以a＋2＝0，即a＝－2.8．(xx·浙江卷)已知a，b∈R，(a＋bi)2＝3＋4i(i是虚

4、数单位)，则a2＋b2＝__5__，ab＝__2__.解析　∵(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi＝3＋4i，∴∴或∴a2＋b2＝5，ab＝2.9．若复数z满足(1＋2i)z＝

5、3＋4i

6、(i为虚数单位)，则复数z＝__1－2i__.解析　∵(1＋2i)z＝

7、3＋4i

8、＝5，∴z＝＝＝1－2i.三、解答题10．计算：(1)；(2)；(3)＋；(4).解析　(1)＝＝＝－1－3i.(2)＝＝＝＝＋i.(3)＋＝＋＝＋＝－1.(4)＝＝＝＝＝－－i.11．已知z是复数，z＋2i，均为实数(i为虚数单

9、位)，且复数(z＋ai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．解析　设z＝x＋yi(x，y∈R)，则z＋2i＝x＋(y＋2)i，由题意得y＝－2.∵＝＝(x－2i)(2＋i)＝(2x＋2)＋(x－4)i.由题意得x＝4，∴z＝4－2i.∴(z＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i.由于(z＋ai)2在复平面上对应的点在第一象限，∴解得2

10、　1＋z2＝＋(a2－10)i＋＋(2a－5)i＝＋[(a2－10)＋(2a－5)]i＝＋(a2＋2a－15)i.∵1＋z2是实数，∴a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3.∵a＋5≠0，∴a≠－5，故a＝3.