数学悖论推理题

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1、数学悖论推理题1=2？史上最经典的“证明”设 a=b ，则 a·b=a^2 ，等号两边同时减去 b^2 就有 a·b-b^2=a^2-b^2 。注意，这个等式的左边可以提出一个 b ，右边是一个平方差，于是有 b·(a-b)=(a+b)(a-b) 。约掉 (a-b) 有 b=a+b。然而 a=b ，因此 b=b+b ，也即 b=2b 。约掉 b ，得 1=2 。这可能是有史以来最经典的谬证了。 TedChiang 在他的短篇科幻小说 DivisionbyZero 中写到：引用Thereisawell-known“proof”thatdemonst

2、ratesthatoneequalstwo.Itbeginswithsomedefinitions:“Leta=1;letb=1.”Itendswiththeconclusion“a=2a,”thatis,oneequalstwo.Hiddeninconspicuouslyinthemiddleisadivisionbyzero,andatthatpointtheproofhassteppedoffthebrink,makingallrulesnullandvoid.Permittingdivisionbyzeroallowsonetoprove

3、notonlythatoneandtwoareequal,butthatanytwonumbersatall—realorimaginary,rationalorirrational—areequal.这个证明的问题所在想必大家都已经很清楚了：等号两边是不能同时除以 a-b 的，因为我们假设了 a=b ，也就是说 a-b 是等于 0 的。无穷级数的力量 (1)小学时，这个问题困扰了我很久：下面这个式子等于多少？1+(-1)+1+(-1)+1+(-1)+…一方面：1+(-1)+1+(-1)+1+(-1)+…=[1+(-1)]+[1+(-1)]+[1

4、+(-1)]+…=0+0+0+…=0另一方面：1+(-1)+1+(-1)+1+(-1)+…=1+[(-1)+1]+[(-1)+1]+[(-1)+…=1+0+0+0+…=1这岂不是说明 0=1 吗？后来我又知道了，这个式子还可以等于 1/2 。不妨设 S=1+(-1)+1+(-1)+… ， 于是有 S=1-S，解得 S=1/2 。学习了微积分之后，我终于明白了，这个无穷级数是发散的，它没有一个所谓的“和”。无穷个数相加的结果是多少，这个是需要定义的。无穷级数的力量 (2)同样的戏法可以变出更多不可思议的东西。例如，令x=1+2+4+8+16+…则有

5、：2x=2+4+8+16+…于是：2x-x=x=(2+4+8+16+…)-(1+2+4+8+16+…)=-1也就是说：1+2+4+8+16+…=-1平方根的阴谋 (1)定理：所有数都相等。证明：取任意两个数 a 和 b ，令 t=a+b 。于是，a+b=t(a+b)(a-b)=t(a-b)a^2-b^2=t·a-t·ba^2-t·a=b^2-t·ba^2-t·a+(t^2)/4=b^2-t·b+(t^2)/4(a-t/2)^2=(b-t/2)^2a-t/2=b-t/2a=b怎么回事儿？问题出在倒数第二行。永远记住， x^2=y^2 并不能推出 x

6、=y ，只能推出 x=±y 。平方根的阴谋 (2)1=√1=√(-1)(-1)=√-1·√-1=-1嗯？只有 x 、 y 都是正数时， √x·y=√x·√y 才是成立的。-1 的平方根有两个， i 和 -i 。 √(-1)(-1) 展开后应该写作 i·(-i) ，它正好等于 1 。复数才是王道考虑方程x^2+x+1=0移项有x^2=-x-1等式两边同时除以 x ，有x=-1-1/x把上式代入原式中，有x^2+(-1-1/x)+1=0即x^2-1/x=0即x^3=1也就是说 x=1。把 x=1 代回原式，得到 1^2+1+1=0 。也就是说， 3=

7、0 ，嘿嘿！其实， x=1 并不是方程 x^2+x+1=0 的解。在实数范围内，方程 x^2+x+1=0 是没有解的，但在复数范围内有两个解。另一方面， x=1 只是 x^3=1 的其中一个解。 x^3=1 其实一共有三个解，只不过另外两个解是复数范围内的。考虑方程 x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)=0 ，容易看出 x^3=1 的两个复数解正好就是x^2+x+1 的两个解。因此， x^2+x+1=0 与 x^3=1 同时成立并无矛盾。注意，一旦引入复数后，这个谬论才有了一个完整而漂亮的解释。或许这也说明了引入复数概念的必要性吧。颇具喜剧色

8、彩的错误众所周知，1+2+3+…+n=n(n+1)/2让我们用 n-1 去替换 n ，可得1+2+3+…+(n-1)=(n-1)n/2等