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时间:2020-01-24
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1、.数学悖论推理题1=2?史上最经典的“证明”设 a=b ,则 a·b=a^2 ,等号两边同时减去 b^2 就有 a·b-b^2=a^2-b^2 。注意,这个等式的左边可以提出一个 b ,右边是一个平方差,于是有 b·(a-b)=(a+b)(a-b) 。约掉 (a-b) 有 b=a+b。然而 a=b ,因此 b=b+b ,也即 b=2b 。约掉 b ,得 1=2 。这可能是有史以来最经典的谬证了。 TedChiang 在他的短篇科幻小说 DivisionbyZero 中写到:引用Thereisawell-known“proof”thatdemonstratesthaton
2、eequalstwo.Itbeginswithsomedefinitions:“Leta=1;letb=1.”Itendswiththeconclusion“a=2a,”thatis,oneequalstwo.Hiddeninconspicuouslyinthemiddleisadivisionbyzero,andatthatpointtheproofhassteppedoffthebrink,makingallrulesnullandvoid.Permittingdivisionbyzeroallowsonetoprovenotonlythatoneandtwoare
3、equal,butthatanytwonumbersatall—realorimaginary,rationalorirrational—areequal.这个证明的问题所在想必大家都已经很清楚了:等号两边是不能同时除以 a-b 的,因为我们假设了 a=b ,也就是说 a-b 是等于 0 的。无穷级数的力量 (1)小学时,这个问题困扰了我很久:下面这个式子等于多少?1+(-1)+1+(-1)+1+(-1)+…一方面:1+(-1)+1+(-1)+1+(-1)+…=[1+(-1)]+[1+(-1)]+[1+(-1)]+…=0+0+0+…=0另一方面:1+(-1)+1+(-1
4、)+1+(-1)+…=1+[(-1)+1]+[(-1)+1]+[(-1)+…=1+0+0+0+…=1这岂不是说明 0=1 吗?后来我又知道了,这个式子还可以等于 1/2 。不妨设 S=1+(-1)+1+(-1)+… , 于是有 S=1-S,解得 S=1/2 。学习了微积分之后,我终于明白了,这个无穷级数是发散的,它没有一个所谓的“和”。无穷个数相加的结果是多少,这个是需要定义的。无穷级数的力量 (2)同样的戏法可以变出更多不可思议的东西。例如,令x=1+2+4+8+16+…则有:..2x=2+4+8+16+…于是:2x-x=x=(2+4+8+16+…)-(1+2+4+8
5、+16+…)=-1也就是说:1+2+4+8+16+…=-1平方根的阴谋 (1)定理:所有数都相等。证明:取任意两个数 a 和 b ,令 t=a+b 。于是,a+b=t(a+b)(a-b)=t(a-b)a^2-b^2=t·a-t·ba^2-t·a=b^2-t·ba^2-t·a+(t^2)/4=b^2-t·b+(t^2)/4(a-t/2)^2=(b-t/2)^2a-t/2=b-t/2a=b怎么回事儿?问题出在倒数第二行。永远记住, x^2=y^2 并不能推出 x=y ,只能推出 x=±y 。平方根的阴谋 (2)1=√1=√(-1)(-1)=√-1·√-1=-1嗯?只有 x
6、、 y 都是正数时, √x·y=√x·√y 才是成立的。-1 的平方根有两个, i 和 -i 。 √(-1)(-1) 展开后应该写作 i·(-i) ,它正好等于 1 。复数才是王道考虑方程x^2+x+1=0移项有x^2=-x-1等式两边同时除以 x ,有x=-1-1/x把上式代入原式中,有x^2+(-1-1/x)+1=0即x^2-1/x=0即x^3=1也就是说 x=1。把 x=1 代回原式,得到 1^2+1+1=0 。也就是说, 3=0 ,嘿嘿!其实, x=1 并不是方程 x^2+x+1=0 的解。在实数范围内,方程 x^2+x+1=0 ..是没有解的,但在复数范围内有
7、两个解。另一方面, x=1 只是 x^3=1 的其中一个解。 x^3=1 其实一共有三个解,只不过另外两个解是复数范围内的。考虑方程 x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)=0 ,容易看出 x^3=1 的两个复数解正好就是x^2+x+1 的两个解。因此, x^2+x+1=0 与 x^3=1 同时成立并无矛盾。注意,一旦引入复数后,这个谬论才有了一个完整而漂亮的解释。或许这也说明了引入复数概念的必要性吧。颇具喜剧色彩的错误众所周知,1+2+3+…+n=n(n+1)/2让我们用 n-1 去替换 n ,可得1+2+3+…+(n-1)=(n-1
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