2019-2020年高中数学 2.1 圆周角定理教案 新人教A版选修4-1

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1、2019-2020年高中数学2.1圆周角定理教案新人教A版选修4-1课标解读1.了解圆心角定理．2.理解圆周角定理及其两个推论，并能解决有关问题.1．圆周角定理及其推论(1)圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．(2)推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．(3)推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．2．圆心角定理圆心角的度数等于它所对弧的度数．1．圆的一条弦所对的圆周角都相等吗？【提示】　不一定相等．一般有两种情况：相等或互补，弦所对的优弧与所对劣弧上的点所成的圆周角互补，所对同一条

2、弧上的圆周角都相等，直径所对的圆周角既相等又互补．2．在推论1中，把“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”的话，结论还成立吗？【提示】　不成立．因为一条弦所对的圆周角有两种可能，在一般情况下是不相等的．3．“相等的圆周角所对的弧相等”，正确吗？【提示】　不正确．“相等的圆周角所对的弧相等”是在“同圆或等圆中”这一大前提下成立的，如图．若AB∥DG，则∠BAC＝∠EDF，但≠.利用圆周角定理和圆心角定理进行计算　在半径为5cm的圆内有长为5cm的弦，求此弦所对的圆周角．【思路探究】　过圆心作弦的垂线构造直角三角形．先求弦所对的圆心角度数，再分两种情况求弦所对的圆周角的度数．【自主解答】

3、　如图所示，过点O作OD⊥AB于点D.∵OD⊥AB，OD经过圆心O，∴AD＝BD＝cm.在Rt△AOD中，OD＝＝cm，∴∠OAD＝30°，∴∠AOD＝60°.∴∠AOB＝2∠AOD＝120°.∴∠ACB＝∠AOB＝60°.∵∠AOB＝120°，∴劣弧的度数为120°，优弧的度数为240°.∴∠AEB＝×240°＝120°，∴此弦所对的圆周角为60°或120°.1．解答本题时应注意弦所对的圆周角有两个，它们互为补角．2．和圆周角定理有关的线段、角的计算，不仅可以通过计算弧、圆心角、圆周角的度数来求相关的角、线段，有时，还可以通过比例线段，相似比来计算．图2－1－1　已知如图2－

4、1－1，△ABC内接于⊙O，＝，点D是上任意一点，AD＝6cm，BD＝5cm，CD＝3cm，求DE的长．【解】　∵＝，∴∠ADB＝∠CDE.又∵＝，∴∠BAD＝∠ECD.∴△ABD∽△CED.∴＝.即＝.∴ED＝2.5cm.与圆周角定理相关的证明　如图2－1－2，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E.图2－1－2(1)证明：△ABE∽△ADC；(2)若△ABC的面积S＝AD·AE，求∠BAC的大小．【思路探究】　(1)通过证明角相等来证明三角形相似．(2)利用(1)的结论及面积相等求sin∠BAC的大小，从而求∠BAC的大小．【自主解答】　(1)由已知条件，可得∠B

5、AE＝∠CAD.因为∠AEB与∠ACB是同弧上的圆周角，所以∠AEB＝∠ACD.故△ABE∽△ADC.(2)因为△ABE∽△ADC，所以＝，即AB·AC＝AD·AE.又S＝AB·ACsin∠BAC且S＝AD·AE，故AB·ACsin∠BAC＝AD·AE，则sin∠BAC＝1，又∠BAC为三角形内角，所以∠BAC＝90°.1．解答本题(2)时关键是利用AB·AC＝AD·AE以及面积S＝AB·ACsin∠BAC确定sin∠BAC的值．2．利用圆中角的关系证明时应注意的问题(1)分析已知和所求，找好所在的三角形，并根据三角形所在圆上的特殊性，寻求相关的圆周角作为桥梁；(2)当圆中出现

6、直径时，要注意寻找直径所对的圆周角，然后在直角三角形中处理相关问题．如图2－1－3，△ABC内接于⊙O，高AD、BE相交于H，AD的延长线交⊙O于F，求证：BF＝BH.图2－1－3【证明】　∵BE⊥AC，AD⊥BC，∴∠AHE＝∠C.∵∠AHE＝∠BHF，∠F＝∠C，∴∠BHF＝∠F.∴BF＝BH.直径所对的圆周角问题　图2－1－4如图2－1－4所示，AB是半圆的直径，AC为弦，且AC∶BC＝4∶3，AB＝10cm，OD⊥AC于D.求四边形OBCD的面积．【思路探究】　由AB是半圆的直径知∠C＝90°，再由条件求出OD、CD、BC的长可得四边形OBCD的面积．【自主解答】　∵A

7、B是半圆的直径，∴∠C＝90°.∵AC∶BC＝4∶3，AB＝10cm，∴AC＝8cm，BC＝6cm.又∵OD⊥AC，∴OD∥BC.∴OD是△ABC的中位线，∴CD＝AC＝4cm，OD＝BC＝3cm.∴S四边形OBCD＝(OD＋BC)·DC＝(3＋6)×4＝18cm2.在圆中，直径是一条特殊的弦，其所对的圆周角是直角，所对的弧是半圆，利用此性质既可以计算角大小、线段长度又可以证明线线垂直、平行等位置关系，还可以证明比例式相等．图2－1－5　如图2－1－5，已知等腰三角形ABC中，以腰AC为直径