2019-2020年高考数学一轮总复习 2不等式证明的基本方法练习（选修4-5）

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1、2019-2020年高考数学一轮总复习2不等式证明的基本方法练习（选修4-5）一、填空题1．已知a≥b>0，M＝2a3－b3，N＝2ab2－a2b，则M、N的大小关系为________．解析　2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)．因为a≥b>0，所以a－b≥0，a＋b>0,2a＋b>0，从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，故2a3－b3≥2ab2－a2b.答案　M≥N2．设a>b>0，m＝－，n＝，则m与n的大小关系是________．解析　∵a>

2、b>0，∴m＝－>0，n＝>0.∵m2－n2＝(a＋b－2)－(a－b)＝2b－2＝2(－)<0，∴m20，则函数y＝3－3x－的最大值是________．解析　y＝3－3x－＝3－≤3－2＝3－2，当且仅当3x＝，即x＝时等号成立，即ymax＝3－2.答案　3－24．已知x＋y＝1，那么2x2＋3y2的最小值是________．解析　由柯西不等式(2x2＋3y2)·≥2＝(x＋y)2＝1，∴2x2＋3y2≥，当且仅当2x＝3y，即x＝，y＝时，等号成立．答案　5．若a，b均为正实数，且a≠b，M＝＋，N＝＋

3、，则M、N的大小关系为________．解析　∵a≠b，∴＋>2，＋>2，∴＋＋＋>2＋2，∴＋>＋.即M>N.答案　M>N6．设a、b、c是正实数，且a＋b＋c＝9，则＋＋的最小值为________．解析　∵(a＋b＋c)＝[()2＋()2＋()2]≥2＝18.∴＋＋≥2，∴＋＋的最小值为2.答案　27．若x＋y＋z＝1，则F＝2x2＋3y2＋z2的最小值为________．解析　(2x2＋3y2＋z2)(3＋2＋6)≥(x＋y＋z)2＝6，∴2x2＋3y2＋z2≥.答案　8．记S＝＋＋＋…＋，则S与1的大小关系是________．解析　∵<，<，

4、…，＝<，∴S＝＋＋＋…＋<＋＋…＋＝1.答案　S<19．(xx·辽宁卷)对于c>0，当非零实数a，b满足4a2－2ab＋b2－c＝0且使

5、2a＋b

6、最大时，＋＋的最小值为________．解析　要求

7、2a＋b

8、的最大值，只需求(2a＋b)2的最大值．∵4a2－2ab＋b2－c＝0，∴4a2＋b2＝c＋2ab.∴(2a＋b)2＝4a2＋b2＋4ab＝c＋2ab＋4ab＝c＋6ab≤c＋32，即(2a＋b)2≤4c，当且仅当2a＝b时，取得等号，即(2a＋b)2取到最大值，即2a＝b时，

9、2a＋b

10、取到最大值．把2a＝b代入4a2－2ab＋b2－c＝0

11、，可得c＝4a2.∴＋＋＝＋＋＝＋＝2－1.∴当＝－1时，＋＋取到最小值－1.答案　－1二、解答题10．已知函数f(x)＝log2(x＋m)，且f(0)，f(2)，f(6)成等差数列．(1)求f(30)的值；(2)若a，b，c是两两不相等的正数，且a，b，c成等比数列，试判断f(a)＋f(c)与2f(b)的大小关系，并证明你的结论．解　(1)由f(0)，f(2)，f(6)成等差数列，得2log2(2＋m)＝log2m＋log2(6＋m)，即(m＋2)2＝m(m＋6)(m＞0)，∴m＝2.∴f(30)＝log2(30＋2)＝5.(2)f(a)＋f(c)

12、＝log2(a＋2)(c＋2)，2f(b)＝log2(b＋2)2，∵b2＝ac，∴(a＋2)(c＋2)－(b＋2)2＝2(a＋c)－4b.∵a＋c＞2＝2b(a≠c)，∴2(a＋c)－4b＞0.∴log2(a＋2)(c＋2)＞log2(b＋2)2.即f(a)＋f(c)＞2f(b)．11．设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：(1)ab＋bc＋ac≤；(2)＋＋≥1.证明　(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2c

13、a＝1，所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.(2)因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)．即＋＋≥a＋b＋c.所以＋＋≥1.12．(xx·福建质检)若a，b，c∈R＋，且满足a＋b＋c＝2.(1)求abc的最大值；(2)证明：＋＋≥.解　(1)因为a，b，c∈R＋，所以2＝a＋b＋c≥3，故abc≤.当且仅当a＝b＝c＝时等号成立，所以abc的最大值为.(2)证明：因为a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝2，所以根据柯西不等式，可得＋＋＝(a＋b＋c)·＝[()2＋()2＋()2]×＋≥2＝.