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1、2019-2020年高中数学第一讲坐标系一平面直角坐标系达标训练新人教A版选修基础·巩固1在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线2x′2+8y′2=0，则曲线C的方程为()A.25x2+36y2=0B.9x2+100y2=0C.10x+24y=0D.x2+y2=0思路解析：将坐标直接代入新方程,即可得原来的曲线方程.将直接代入2x′2+8y′2=0,得2(5x)2+8(3y)2=0,即25x2+36y2=0为所求曲线C的方程.答案：A2△ABC中，若BC的长度为4，中线AD的长为3，则A点的轨迹方程是_______.思路解析：取B、C所在直线为x轴
2、,线段BC的中垂线为y轴,建立直角坐标系,则B(-2,0)、C(2,0),设A(x,y),则D(0,0),所以
3、AD
4、=.答案：x2+y2=9(y≠0)3在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形.(1)5x+2y=0;(2)x2+y2=1.思路分析：根据变换公式,分清新旧坐标代入即可.解：(1)由伸缩变换,得.将其代入5x+2y=0,得到经过伸缩变换后的图形的方程是5x′+3y′=0.经过伸缩变换后,直线仍然是直线.(2)将代入x2+y2=1,得到经过伸缩变换后的图形的方程是=1.经过伸缩变换后,圆变成了椭圆.4在同一平面直角坐标系中，将曲线
5、x2-36y2-8x+12=0变成曲线x′2-y′2-4x′+3=0，求满足图象变换的伸缩变换.思路分析：x2-36y2-8x+12=0可化为()2-9y2=1,①x′2-y′2-4x′+3=0可化为(x′-2)2-y′2=1,②比较①②，可得x′-2=,y′=3y.解：伸缩变换为将曲线x2-36y2-8x+12=0所在的坐标系的x轴扩大到原来的2倍,y轴伸长到原来的3倍,就可得到曲线x′2-y′2-4x′+3=0的图象.5已知△ABC，D、E、F分别在边BC、CA、AB上，且有BD∶DC=AE∶EB=CF∶FA.求证：△DEF与△ABC的重心重合.思路分析：根据
6、三角形的特点建立坐标系，利用重心坐标公式求解.证明：以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图：设A(a,b),B(0,0),C(c,0),由重心G(),设=λ.则点D(0),E(),F().由重心坐标公式，可知△DEF的重心G′的坐标为：(=().∴G与G′重合.也就是△DEF和△ABC的重心重合.6已知△ABC的底边BC长为12，且底边固定，顶点A是动点，sinB-sinC=sinA，求点A的轨迹.思路分析：由于顶点A为动点，所以应该以底边为x轴建立坐标系，利用正弦定理求解.解：以底边BC为x轴，底边BC的中点为原点建立xOy坐标系，这时B(
7、-6,0)，C(6,0)，由sinB-sinC=sinA,得b-c=a=6,即
8、AC
9、-
10、AB
11、=6.所以，点A的轨迹是以B(-6,0)，C(6,0)为焦点，2a=6的双曲线的左支.其方程为=1(x<-3).综合·应用7如图1-1-5，已知A、B、C是直线m上的三点，且
12、AB
13、=
14、BC
15、=6，⊙O′切直线m于点A，又过B、C作⊙O′异于m的两切线，切点分别为D、E，设两切线交于点P.图1-1-5（1）求点P的轨迹方程;（2）经过点C的直线l与点P的轨迹交于M、N两点，且点C分所成比等于2∶3，求直线l的方程.思路分析：先根据圆切线的定义,可得到点P的轨迹是椭圆,然
16、后建立适当的坐标系求出点P的轨迹方程；根据定比分点坐标公式,找出相关点的坐标,列出方程组求点M、N的坐标,从而求出直线方程.解：（1）∵
17、PE
18、=
19、PD
20、,
21、BD
22、=
23、BA
24、,
25、CE
26、=
27、CA
28、,∴
29、PB
30、+
31、PC
32、=
33、PD
34、+
35、DB
36、+
37、CE
38、-
39、PE
40、=
41、BD
42、+
43、CE
44、=
45、AB
46、+
47、CA
48、=18＞6=
49、BC
50、.∴P点轨迹是以B、C为焦点,长轴长等于18的椭圆.以B、C两点所在直线为x轴,线段BC的垂直平分线为y轴建立直角坐标系,则可设椭圆的方程是=1(a＞b＞0).∵a=9,c=3,∴b2=72.∴P点的轨迹方程是=1(y≠0).（2）设M(x1,y1)、N
51、(x2,y2),∵C(3,0)分MN所成的比为,∴∴=1.∴①又=1,②由①②消去y2,得=1.解得x2=-3,y2=±8,即N(-3,±8).∴由C、N可得直线的方程是4x+3y-12=0或4x-3y-12=0.8如图1-1-6，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状.图1-1-6（1）若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽l是多少？（2）若最大拱高h不小于6米，则应如何设计拱高h和拱宽l，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？（半个椭圆的面积公式为S=lh，柱体体积为底面积乘以高.本
52、题结果精确
