2019年高考数学总复习 专题4.5 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 导学案 理

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1、第五节　两角和与差的正弦、余弦和正切公式最新考纲1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．　2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．　3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．　4.能利用上述公式进行简单的恒等变换知识梳理1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β；(2)cos(α±β)＝cos_αcos_β∓sin_αsin_β；(3)tan(α±β)＝.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin

2、2α＝2sinαcosα；(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；(3)tan2α＝.3.必会结论（1）降幂公式：cos2α＝，sin2α＝.（2）升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α.（3）公式变形：tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanα·tanβ)．（4）辅助角公式：asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)，其中sinφ＝，cosφ＝.（5）sin15°＝，cos15°＝，tan15°＝2－.(6)公式的逆用：①1±sin2α＝(sinα±cosα)2；②s

3、inα±cosα＝sin.典型例题考点一　给角求值问题(三角函数式的化简、求值)【例1】化简求值：（1）sin20°cos10°－cos160°sin10°（2)（3）sin50°(1＋tan10°).【答案】（1）．（2）.(3)1．【解析】（1）sin20°cos10°－cos160°sin10°＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin(20°＋10°)＝sin30°＝．（2）＝＝＝＝.(3)sin50°(1＋tan10°)＝sin50°(1＋tan60°·tan10°)＝sin50°·＝sin50°·＝＝＝＝1．规律

4、方法“给角求值”中一般所给出的角都是非特殊角，应仔细观察非特殊角与特殊角之间的关系，结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数求解．【变式训练1】化简求值：(1)（2）(3)　4cos50°－tan40°【答案】（1）.(2).(3).【解析】（1）法一：原式＝＝＝tan30°＝.法二：原式＝＝＝＝.法三：∵2＝＝.又＞0，∴＝.(2)原式＝＝＝＝.(3)　4cos50°－tan40°＝4cos50°－＝－＝＝＝＝＝＝＝.所以f(x)的对称中心为(k∈Z)．(2)因为x∈，所以－≤2x＋≤.所以－≤sin≤1，所以－1≤f(x)≤2.

5、所以当x＝－时，f(x)的最小值为－1；当x＝时，f(x)的最大值为2.规律方法（1）进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．（2）把形如y＝asinx＋bcosx的函数化为y＝sin(x＋φ)的形式，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性．【变式训练4】已知函数f(x)＝sin2ωx＋sinωxsin(ω＞0)的最小正周期为.（1）写出函数f(x)的单调递增区间；（2）求函数f(x)在区间上的取值范围．【答案】(1)(k∈Z)．(2).【解析】(1)f(x)＝＋sin2ωx＝si

6、n2ωx－cos2ωx＋＝sin＋.因为T＝，所以＝(ω＞0)，所以ω＝2，f(x)＝sin＋.于是由2kπ－≤4x－≤2kπ＋，解得－≤x≤＋(k∈Z)．所以f(x)的增区间为(k∈Z)．(2)因为x∈，所以4x－∈，所以sin∈，所以f(x)∈.故f(x)在区间上的取值范围是.课堂总结1．转化思想是实施三角变换的主导思想，变换包括：函数名称变换，角的变换，“1”的变换，和积变换．2．变换则必须熟悉公式．分清和掌握哪些公式会实现哪种变换，也要掌握各个公式的相互联系和适用条件．3．恒等变形前需已知式中角的差异，函数名称的差异，运算结构的差异，

7、寻求联系，实现转化．4．基本技巧：切割化弦，异名化同，异角化同或尽量减少名称、角数．课后作业1．sin34°sin26°－cos34°cos26°的值是(　　)A．　　　B．　　　　C．－　　　D．－【答案】C.【解析】　sin34°sin26°－cos34°cos26°＝－(cos34°cos26°－sin34°sin26°)＝－cos(34°＋26°)＝－cos60°＝－.2．tan20°＋tan40°＋tan20°tan40°＝.【答案】.【解析】　∵tan(20°＋40°)＝，∴－tan20°tan40°＝tan20°＋tan40°，

8、即tan20°＋tan40°＋tan20°tan40°＝.3．[2017·全国卷Ⅲ]已知sinα－cosα＝，则sin2α＝(　　)A．－B．－C．D．【答案】A.