高考数学大一轮复习4.5两角和与差的正弦、余弦、正切公式学案理苏教版

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1、学案20　两角和与差的正弦、余弦和正切公式导学目标：1.会用向量数量积推导出两角差的余弦公式.2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式.4.熟悉公式的正用、逆用、变形应用．自主梳理1．(1)两角和与差的余弦cos(α＋β)＝____________________________________，cos(α－β)＝____________________________________.(2)两角和与差的正弦sin(α＋β)＝_____________________________________

2、，sin(α－β)＝_____________________________________.(3)两角和与差的正切tan(α＋β)＝_____________________________________，tan(α－β)＝_____________________________________.(α，β，α＋β，α－β均不等于kπ＋，k∈Z)其变形为：tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)．2．辅助角公式asinα＋bcosα＝sin(α＋φ)，其中角φ称为辅助角．自我检测1．

3、cos43°cos77°＋sin43°cos167°的值为________．2．已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，则tan2α＝________.3．cos＋sin＝________.4．(1＋tan17°)(1＋tan18°)(1＋tan27°)(1＋tan28°)的值是________．5．已知cos＋sinα＝，则sin的值是________．探究点一　给角求值问题(三角函数式的化简、求值)例1　求值：(1)[2sin50°＋sin10°(1＋tan10°)]；(2)sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－·cos(θ＋15°)．变式迁移1　求值

4、：(1)；(2)tan(－θ)＋tan(＋θ)＋tan(－θ)tan(＋θ)．10探究点二　给值求值问题(已知某角的三角函数值，求另一角的三角函数值)例2　已知0<β<<α<，cos＝，sin＝，求sin(α＋β)的值．变式迁移2　(2010·广州高三二模)已知tan＝2，tanβ＝.(1)求tanα的值；(2)求的值．探究点三　给值求角问题(已知某角的三角函数值，求另一角的值)例3　已知0<α<<β<π，tan＝，cos(β－α)＝.(1)求sinα的值；　(2)求β的值．变式迁移3　若sinA＝，sinB＝，且A、B均为钝角，求A＋B的值．转化与化归思想例　(14分

5、)已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，

6、a－b

7、＝.(1)求cos(α－β)的值；(2)若－<β<0<α<，且sinβ＝－，求sinα的值．【答题模板】解　(1)∵

8、a－b

9、＝，∴a2－2a·b＋b2＝.[2分]又∵a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，∴a2＝b2＝1，a·b＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β)，[4分]10故cos(α－β)＝＝＝.[7分](2)∵－<β<0<α<，∴0<α－β<π.∵cos(α－β)＝，∴sin(α－β)＝.[9分]又∵sinβ＝－，－<β<0，∴cosβ＝.[11分]

10、故sinα＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ＝×＋×＝.[14分]【突破思维障碍】本题是三角函数问题与向量的综合题，唯一一个等式条件

11、a－b

12、＝，必须从这个等式出发，利用向量知识化简再结合两角差的余弦公式可求第(1)问，在第(2)问中需要把未知角向已知角转化再利用角的范围来求，即将α变为(α－β)＋β.本节主要应用转化与化归思想，即异角化同角．未知角向已知角转化，非特殊角向特殊角转化．【易错点剖析】

13、a－b

14、平方逆用及两角差的余弦公式是易错点，把未知角转化成已知角并利用角的范围确定三角函数符号也是易错点．1．转化思想是实施三角

15、变换的主导思想，变换包括：函数名称变换，角的变换，“1”的变换，和积变换．2．变换则必须熟悉公式．分清和掌握哪些公式会实现哪种变换，也要掌握各个公式的相互联系和适用条件．3．恒等变形前需已知式中角的差异，函数名称的差异，运算结构的差异，寻求联系，实现转化．4．基本技巧：切割化弦，异名化同，异角化同或尽量减少名称、角数．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．已知a∈(－，0)，sinα＝－，则tan(α＋)＝______________.2．(2011·盐城模拟)已知cos(－α)＝，则sin2(α－)－cos(＋α)的值是