【精品】数学竞赛中最值问题的求解策略

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1、数学竞赛中最值问题的求解策略学生姓名：学号：数学与信息科学学院数子与应用数学专业指导教师：职称：副教授摘要：数学竞赛中最值问题的求解策略有以下几种方法：向量法、换元法、配方法、不等式法、判别式法、函数单调性、构造法、几何方法、主元法、估计法、概率法、设计参数法、数论方法.关键字：数学竞赛；最值问题；最值计算方法;最值计算技巧TheCalculationStrategiesofExtremumProblemsinMathematicsCompetitionsAbstract：Therearekindsofmet

2、hodsincalculatingstrategiesofextremumproblems:vectormethod,substitutionmethod,methodofcompletingthesquare,inequalitymethod,discriminantmethod,functionalmonotonicity,constructionmethod,geometricmethod,mainterm,estimationmethod,probabilitymethod,designparamet

3、ersmethod,numbertheoreticmethod.Keywords：Mathematicscompetitions；Extremumproblems；CalculationmethodofExtremum；CalculatingtechniqueofExtremum刖5最值问题是数学类竞赛和考试的热点问题.由于此类问题往往涉及到函数、数列、平而几何等方而的知识，方法灵活，综合性较强•本文在文献［1-12］基础上对数学竞赛中最值问题的求解策略进行全面详细的归纳总结，并给出了各种方法适用的范围和特点

4、，通过例题分析以达到开阔解题思路，培养灵活运用知识进行分析解决问题的能力.1.数学竞赛中最值求解的常用方法与技巧1.1配方法配方法是数学竞赛屮常用的方法，思路是设法将变量配成若干个完全平方式，利用实数平方的非负性求其最值，关键要构造若干个平方式且能找岀取等号的条件.例1求实数兀y的值，使得(y-l)2+(x+y-3)24-(2x4-y-6)2达到最小值.(2001年全国初屮数学联赛试题)解原式=5,+6xy+3y$一30x一20y+46=5(x+

5、y-3)2+]X+2y_3=0当'时上式取得最小值y--=0「

6、6此时x=—,y=最小值为丄.266例2已知95个数如,如,…卫95,每个都只能取+1或・1两个值之一.求它们两两之积的和恥2+恥3+…+°94°95的最小正值・(1994年全国高中数学联赛,填空题第6题)解将所求式2倍后配方：92222(0]6?2++•…+^94^95)=(6++•••+CZ95)_⑷_°2—=(%++…+。95)—95所求为正值,由知:(%+。2+…+。95F>95,则％++…+。95>】°•由题设知％+勺的5是奇数，由%+。2兔5的最小值为11，当%=°2=…=^42=1，°43=°4

7、4=…=°84=一1，同时心5=俶6=…=為5=1吋，都取得最小，则所求最小值为13・例3求427+41°°°+4"是完全平方的最大整数x・(第6届全俄数学竞赛)解427+41000+4V=254(1+2-21945+222).2即是一完全平方，当2兀-54=2x1945时，即兀=1972时1+2-21945+22^54=(1+21945)2是一完全平方.若X>1972,则22(-27)<1+2.2關+22(-27)V(1+2-27)2.由此可知，1+2•2,945+22-54介于两个连续自然数2"7与1+2

8、-27的平方Z间,则最大整数x=1972・1.2向量法⑶向量法是解决数学问题的一种重要方法，它在数学解题中尤其在解不等式问题中冇广泛的应用•新教材中的向量数量m-n=m•ncos0(&为与料的夹角)蕴涵着重要的彳、等式关系：mH

9、云「•可利用它们来解决一类数学竞赛题，如求函数最值.例4已知a、b、c>0,ab=2,a2+b2+c2=6，求he+ca的最大值.(1999年“希望杯”全

10、国数学邀请赛)解构造向量历=(d,b,c),K=9,c,d),m•同得，ab+be+ca