圆中最值问题的求解方法

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1、圆中最值问题的求解方法有关圆的最值问题，往往知识面广、综合性大、应用性强，而且情境新颖，能很好地考查学生的创新能力和潜在的数学素质，本文按知识点分类，以近几年中考题为例，归纳总结此类试题的解题方法．一、直线外一点到直线上各点的连线中，垂线段最短例1（2012宁波）如图1，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝2，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于点E，F，连结EF，则线段EF长度的最小值为_______．分析由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短．解如图2，连结O

2、E，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H．∵在Rt△ADB中，∠ABC＝45°，AB＝2，∴AD＝BD＝2，即此时圆的直径为2．由圆周角定理，可知∠EOH＝∠EOF＝∠BAC＝60°，∴在Rt△EOH中，EH＝OE·sin∠EOH＝．由垂径定理，可知EF＝2EH＝点评本题是一道融垂径定理、圆周角定理、解直角三角形于一体的综合应用题．关键是根据运动变化，找出满足条件的最小圆．二、两点之间线段最短例2（2014三明）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以BC为直径的半圆交AB于点D，P是CD上的一个动点，连结AP，则

3、AP的最小值是_______．5分析如图4，取BC的中点E，连结AE，交半圆于点P2，在半圆上取点P1，连结AP1，EP1，可得，AP1＋EP1>AE，即AP2是AP的最小值．再根据勾股定理求出AE的长，然后减掉半径即可．解如图4，取BC的中点E，连结AE，交半圆于点P2，在半圆上取点P1，连结AP1，EP1，可得，AP1＋EP1>AE，∵，P2E＝1．∴AP2．即AP2是AP的最小值．点评本题考查了勾股定理、最短路径问题，利用两点之间线段最短是解题的关键．三、利用轴对称，求直线上一点到直线同侧两点的线段之和最短例3（2014张家界）

4、如图5，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB＝8，CD＝6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA＋PC的最小值为_______．分析A、B两点关于MN对称，因而PA＋PC＝PB＋PC，即当B、C、P在一条直线上时，PA＋PC的最小，即BC的值就是PA＋PC的最小值．解如图6，连接OA，OB，OC，作CH垂直于AB于点H．根据垂径定理，得到在Rt△BCH中，根据勾股定理得到BC＝7，则PA＋PC的最小值为7．点评正确理解BC的长是PA＋PC的最小值，是解决本题的关键．5例4（2014东营）如图

5、7，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB＝8cm，，M是AB上一动点，则CM＋DM的最小值是_______cm．解析如图8，作点C关于AB的对称点C'，连结C'D与AB相交于点M，根据轴对称确定最短路线问题，点M为CM＋DM的最小值时的位置，根据垂径定理可得，然后求出C'D为直径，从而得解．∴CM＋DM的最小值是8cm．点评本题考查了轴对称确定最短路线问题，垂径定理，熟记定理并作出图形，判断出CM＋DM的最小值等于圆的直径的长度是解题的关键．四、利用切线的性质求最小值例5（2010苏州）如图9，已知A、B两点的坐标分别为(2，0)、(0，

6、2)，⊙C的圆心坐标为（－1，0），半径为1．若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值是()(A)2(B)1(C)2－(D)2－解析根据三角形的面积公式，△ABE底边BE上的高AO不变，BE越小，则面积越小，可以判断当AD与⊙C相切时，BE的值最小．根据勾股定理求出AD的值，然后根据相似三角形求出OE的长度，代入三角形的面积公式进行计算即可求解．如图10，由题意知道当DA是圆C的切线时，OE最短，此时△ABE面积最小．AC＝2＋1＝3．CD＝1．5故选C．点评本题考查了坐标与图形的性质，勾股定理，相似三角

7、形的判定与性质，根据相似三角形对应边成比例列式求出OE的长度是解题的关键．五、立体图形上两点之间最短距离例6（2014兰州）如图11，有一个圆锥形的粮堆，其主视图是边长为6cm的正三角形，母线的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，小猫从B处沿圆锥表面去偷袭老鼠，求小猫经过的最短路程．解析如图12，先确定扇形的圆心角，根据两点之间线段最短，再确定起点和终点，从而求解，∵△ABC为正三角形．∴BC＝6．∴l＝2π×3＝6π．根据底面积圆的周长等于展开后扇形的弧长，得故n＝180°，则∠B'AC＝90°，∴B'P＝（米）．答：小猫所经过的最短路程

8、是＝3米．点评本题考查平面展开最短路径问题，关键知道两点之间线段最短，根据勾股定理求解．以圆为载体的最值问题在中考试题中通常以选择、填空的压轴题频繁出现．这类试题5“小而精”，集多个知识点于一体，能全方位地考查学生的基本