浅谈求函数最值问题的方法

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1、浅谈求函数最值问题的方法颜远雪摘要：木文介绍了八种求函数最值问题的方法,并结合高考试题及数学竞赛题来进行分析研究。关键词：最大值；最小值；方法0.引言最值问题是一类特殊的数学问题，它在生产、科学研究和日常生活小有着广泛的应用，而且在中学数学教学中也占有比较重要的位置，是历年高考重点考查的知识点Z—，也是近几年数学竞赛中的常见题型。在高考中，它经常与三角函数、二次函数、一元二次方程、不等式及某些几何知识紧密联系，并以一些基础题，小综合的中档题或一些难题的形式出现。由于其解法灵活，综合性强，能力要求高，故而解决这类问题，

2、要掌握各数学分支知识，能综合运用各种数学技能,灵活选择合理的解题方法。本文现拟对求函数最值问题的方法作一个综述，以便丁•广大师生系统掌握求函数最值的初等求解方法。其中，木文大致按八个方血分类选谈求函数最值问题的方法，它们分别是：判别式法、函数的单调性法、均值不等式法、换元法、几何法、构造方差法、复数法和导数法。1•判别式法若函数y=/(x)可化成一个系数含有y的关于x的二次方程：Q(刃F+b(y)兀+c(y)=0。在a(y)H0时，由于为实数，则有A=b2(y)-4a(y)c(y)>0,由此口J以求出y所在的范围，确

3、定函数的最值。例1.1(1987,江苏省初屮数学竞赛)已知+其屮是实数，则p+q的最大值为解:设$=〃+q,由/尹+亍=2得，(p+q)(/异+/—/%)=2(p+q)l(p+q『—3“n=2(p+q)'_3pq(p+q)=21719/.pq=-(s2——)化是方程兀$_$兀+_($2——)=0的两个实根.3s3$.4o2•••△=$——($「——)>03s整理化简，得?<8,故$S2.即p+q的最大值为2例1.2（1993,全国高屮数学联赛）实数圮），满足4x2-5xy+4/=5,设S=/+y2,则丄*丄的值为。C

4、C・maxmin44解：由题意知，xy=-s-f故5)2=(—5-1)2乂X2+y2=s:.F,)/是方程t2-st+(—s-l)2=0的两个实根.a。//A39232•••△=$-一4(一$—1)・=5+一5-4>05255解得—

5、上是单调的，再求出各个小区间上的最值，从而可以得到整个区间上的最值。解：先求定义域，质二豐。例2.1求函数f（x）=JSx-x2-yJ14x-x2-48的最小值和最大值。得6

6、）二（『2-4）+（）=（（2-GO）

7、‘2‘1“2117/maxW=./（-）=y41.•.“)=『+_在-,1上是减函数，因此九⑴=/(1)=5tL2~~n儿ax3.均值不等式法均值不等式：设即如…，色是斤个正数，则有55+…72^^，其中等号成立的条件是ax-a2-...=ano运用均值不等式求最值，必须具备三个必要条件，即一正二定三等，缺一不可。“正”是指各项均为止数，这是前提条件；“定”是指各项的和或积为定值;“等”是等号成立的条件。例3.1(1990,全国高中数学联赛)设为自然数，d"为实数，11满足。心，则越需的最小值是•••anhn<1解：

8、・・・讹〉0.由均值不等式得，ab<(^)2=12幷11l+//'+l+M1+/「+1+/l+d"1+b"（l+d”）（l+Z/‘）l+b"+N7/'+d”当口仅当a=b=时,上式取等号•故丄+丄的最小值是11+d”+hn例3.2（1997,全国高中数学联赛）设a=lgz+lg[x（w）"+l],b=gx~l+lgOyz+l),c=lg_y+lg[(xyz)J+1],记a,b,c屮最大数为M,则M的最小值为o解:由已知条件得a=lg(xy_1+z),b=lg(yz+x~l),c=lg[(xz)_I+y]设兀+z

9、,yz+x_1,(xz)_1+y中的最小数为A,则M=IgA由已知条件知，x,.y,zw/T,于是A2>(xy_1+z)f(xz)-1+y]=[(37)"1+yz]+0+兀宀)n2+2=4所以，心2,且当x=y=z=l时，A=2,故A的最小值为2,从而M的最小值为lg2注:在用均值不等式求函数的最值吋，往往需要配合一定的变形技巧,才可以把问题转