求最值问题的常用方法.docx

《求最值问题的常用方法.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、求最值问题的常用方法函数最值问题遍及中小学数学各个内容的方方面面，同时在我们的生活实践中也有广泛的应用，是中学数学的重要内容之一，由于利用中学数学的思想方法去解决函数最值问题，涉及数学许多知识与立法，要求学生要有扎实的数学基本功及良好的数学思维能力，因此，函数最值问题一直是高考的一个重要的热点问题，在高考中占有极其重要的地位。为了让大家能够更加系统、全面地掌握函数最值问题的解决方法，下面就其问题的常用解法，分类分析如下供广大学生参考。一、定义法函数最值的定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M，满足：（1）对任意实数x∈I,都有f(x)≤M,（2）存

2、在x0∈I使得f(x0)=M则称M为函数=f(x)的最大值；如果存在实数N，满足：（1）对任意实数x∈I,都有f(x)≥N,（2）存在x0∈I使得f(x0)=N则称N为函数=f(x)的最小值。我们可以直接利用函数最值的定义，可以判断函数的最值相关问题。例1、设函数f(x)的定义域为R，有下列三个命题：（1）若存在常数M，使得对任意实数x∈R,都有f(x)≤M，则称M为函数=f(x)的最大值；（2）若存在x0∈R，使得对任意实数x∈R，且x≠x0,有f(x)

3、f(x0)是函数的最大值；这些命题中，真命题的个数是（）A.0B.1C.2D.3精析：根据函数的最大值的定义知，（1）是假命题；虽然满足最大值定义中的任意性，但不满足存在性，故（1）错误。（2）（3）正确；实质上，它们是等价命题，都满足最大值定义中的两个条件。答案：C点评：利用定义解决函数最值的相关问题时，重要的一点是要把握定义的内涵，准确地加以应用。需要注意的是：函数一定有值域，但不一定有最值。二、配方法配方法是求二次函数最值的基本方法，如函数F(ｘ)＝ａｆ２（ｘ）＋ｂｆ（ｘ）＋ｃ（a≠0）的最值问题，可以考虑配方法。例2、已知函数y=（ex-a）2+(e-x-a)2

4、(a∈R,a≠0),求函数y的最小值。解析：y=（ex-a）2+(e-x-a)2=y=（ex+e-x）2-2a(e-x+e-x)2+2a2-2令t=ex+e-x,f(t)=t2-2at+2a2-2=(t-a)2+a2-2的定义域为【2，+∞）抛物线y=f(t)的对称轴为t=a,当a≤2且a≠0时ymin=f(2)=2(a-1)2;a>2时ymin=f(a)=a2-2点评：利用二次函数的性质求最值，要特别注意自变量的取值范围，是时还要注意对称轴与区间相对位置关系。如本题化为含参数的二次函数后，求解最值时要细心区分对称轴与区间的位置关系，然后再根据不同情况分类解决。一、换元

5、法换元法是指通过引入一个或几个新的变量，来替换原来的某些变量（代数式），以便使问题得以解决的一种数学方法。在学习中，常常使用的换元法有两类，即代数法和三角换元，我们可以根据具体问题及题目形式去灵活选择换元的方法，以便将复杂的函数最值问题转化为简单的函数最值问题，从而求出原函数的最值。如可用三角代换解决形如a2+b2=1及部分根式函数形式的最佳问题。例1、设a，b∈Ｒ，ａ2+２b２＝６，则a+b的最小值是解析：a，b∈Ｒ，ａ2+２b２＝６，令a=6cosθ,2b=6sinθ,θ∈Ra+b=6cosθ+3sinθ=3sin(θ+t)即a+b的最小值为-3.点评：在用换元法时

6、，要特别注意其中间变量的取值范围。二、不等式法利用不等式法求解函数最值，主要是指运用均值不等式及其变形公式来解决函数最值的一种方法.