求最值问题的方法与应用

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（封面小样）高等教育自学考试毕业论文论文题目:求最值问题的方法与应用作者姓名：丁亚飞　　专业：数学教育主考学校：兰州大学数学与统计学学院准考证号：432411205035指导教师姓名职称：赵敦甘肃省高等教育自学考试办公室印制2012年12月12日12 （扉页小样）数学专业本科论文XX专业论文标题（中学数学中求最值问题的方法与应用）论文标题（Zhongxueshuxuezhongqiuzuizhiwentidefangayuyingyong）论文作者（丁亚飞）论文作者（Dingyafei）12 （目录小样）目录内容摘要……………………………………………………（Ⅰ）正文目录……………………………………………………（Ⅱ）注释………………………………………………………（Ⅲ）参考文献……………………………………………………（Ⅳ）附录………………………………………………………（Ⅴ）后记（致谢）………………………………………………（Ⅵ）12 （正文小样）求最值问题的方法与应用——中学数学中求最值问题的方法与应用(丁亚飞)内容摘要：最值问题是中学数学中一类综合性很强的问题，在整个学习过程中都有出现。它涉及数学知识﹑方法、思想较多。是中考及高考的热点问题，突出了对学生数学素质的考察。探索解析几何、三角函数等中求最值问题的数学思想方法和规律，最终达到应用的目的。关键词：最值；单调性；均值；方法与应用；第1章绪论在研究领域、现实生活中，我们常会碰到一些有关事件的范围问题，也就是事件的最值问题、最优化、最省等的问题，当然，早学习数学的过程中，我们也常常碰到求函数的最值的求法及技巧。最值问题是中学数学的重要内容之一，它分布在各块知识点，考察学生的分类讨论、数形结合、转化与化归等诸多思想和方法，还可以考察学生的思维能力，实践和创新能力。因此熟练的掌握各类最值的求法及技巧。使学生便于掌握，遇到题目，不慌不忙，提高学生解题能力。在实际应用问题中，关于最优化问题，通过建模可化为最值问题。以便于学生把理论联系实际。在中学数学的学习中，我们常遇到最值问题的类型及解法有，三角函数的有界性、换原法、运用二倍角公式。数形结合。函数的单调性、均值不等式。下面，我根据自己查阅资料和体会，来更好的使学生轻易的掌握最值的求法，我将系统的归纳最值的求法。12 第2章初中数学中的最值问题在初中，对于二次函数的掌握是重点也是中考的考点，在求二次函数的最值方面，利用了二次函数的性质、图像、单调性、判别式法。便于同学们解决二次函数最值方面的问题。2.1有关二次函数的的最值问题2.1.1用配方法求二次函数的最值问题配方法的一般步骤为：A.把二次函数的系数提出来；B.在括号内加上一次项系数一半的平方，同时减去，以保值不变。例1：求函数y=3x+12x+2的最小值解：y=3(x+4x)+2……………………………………………………………………………=3(x+4x+2-2)+2=3（x+2）+2显然3（x+2）+2所以：y，故所求函数的最小值为2例2=-+=++1由上式可知，当x-1=0且=0时，即x=1时，取得最小值12.1.2用二次函数单调性求二次函数的最值运用二次函数的图像以及基本性质，当0时，开口向上，有最小值。反之，时，图像开口向下，有最大值。例1已知函数y=x2-4，求函数的最值。解：显然x在x上单调递增，故x=0处取到最小值。即y=-4例1.求函数在区间[-1,4]上的最大值和最小值。解：原式可变为，其对称轴为，开口向上，所以当12 时，取得最小值为1，又，所以当时取得最大值为10。2.1.4用判别式发求最值众所周知，如果一元二次方程有实数根，那么判别式，我们可利用这个性质求代数式的极值或取值范围。它的基本思路是由一直条件构造一个有实数根的一元二次方程，然后利用判别式列所求代数式的方程，从而求出代数式的极值或取值范围。例1.求函数=的最大值解：将原式整理，化简得由于为实数，得整理得，解得，将带入原方程得，，故当时，二次函数在闭区间的最值此类型题目的对称轴和区间都是确定的，因而二次函数的最值也是确定的，直接观察二次函数在区间上的图像即可。例1已知函数，，求的最大值和最小值。解：对称轴，由数形结合可知，时，，，。例2求函数y=-3x2+6x+2在区间的最小值解：函数y的对称轴是x==3，故函数y在区间上递增;函数y在区间上递减;当x=2时，y=2；当x=5时，y=-43；所以，函数y=-3x2+6x+2在区间的最小值为-43.12 第三章高中数学中的最值问题在高中数学中，我们常遇到的最值问题的类型有，三角函数求最值、均值不等式、导数、解析几何中求最值。本章系统详细的总结和归纳函数最值的求法，便于学生掌握。3.1有关三角函数的最值三角函数是数学中重要的函数概念，学习并掌握三角函数知识点对学好数学有着很重要的作用，三角函数和其它数学知识有密切联系，且常常在学和研究其它数学知识有着广泛的应用。三角函数的最值问题是对三角函数的概念、图象与性质以及诱导公式、同角间的基本关系、两角的和与差公式的综合考查,也是函数思想的具体体现．解决三角函数的最值问题可通过适当的三角变换,化归为某种三角函数形式,再利用三角函数的有界性去处理,这样就能将复杂的试题转换为我们熟悉的类型，以便于解答。3.1.1利用三角函数的有界性求最值对于形如或的函数，利用三角函数的有界性，求出或，再利用及，从而求得函数的最值。例1求三角函数y=，xR的最值.解：将y=变形为sinx=，，∴解得：y，所以函数的最大值为，无最小值。3.1.2利用换元法求三角函数的最值三角代换也是求最值常用的一种换元方法，在解某些代数问题时，选用适当的三角函数进行换元，把三角函数问题转化为代数问题，充分利用三角函数的性质去解决问题。对于同时含有的函数求最值问题，通常用换元法换去低次项，再将函数化为二次函数求最值，在换元过程中要注意换元前后新换元的取值范围例1.已知求的最大值解：设由已知条件得12 解得===当即3.1.1利用三角函数的单调性求最值的单调增区间是[,](),减区间是[,]()。的单调增区间是[,2](),减区间是[,]()。例1.已知求函数的最小值解：，∵∴解：将看成单位圆上的点与定点连线的斜率，将函数的问题转化为斜率的最值，只要求出过定点且与单位圆相切的直线的斜率即可。设切线方程为，即，则有，∴3.2均值不等式求最值12 运用基本不等式求最值是高中阶段一种常用的方法，其约束条件苛刻。均值不等式具有将“和式”转化为“积式”与将“积式”转化为“和式”的功能，但一定要注意使用的前提：“一正、二定、三相等”。所谓“一正”是指“正数”；“二定”指应用定理求最值时，和或积为定值；“三相等”是指满足等号成立的条件，常见的形式如下。二元均值不等式≥（a>0,b>0,当且仅当a=b时取等号）“一正、二定、三相等”某工厂要建造一个长方体无盖蓄水池，其容积为4800立方米，深为3米.如果池底每一平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元.问怎样设计水池造价最低？0解：设水池地面一边的长度为x米，水池的总造价为y元，根据题意得：1y=240000+720（x+）≥240000+720=240000+720=297600当x=，即x=40时，y有最小值297600.因此，当水池的底面边长为40米的正方形时，水池的总造价最低.导数在闭区间的最值例1.已知函数上的最大值和最小值解：，令，得∵，；∴所求最小值为-6，最大值是.3.1用线性规划求最值这类问题12 通常以实际问题为背景，考察运用线性规划的有关知识求目标函数的最值，其解题的一般思路是画出可行域，求与最值有关的交点坐标，代入坐标求出最值。例题：要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下：规格类型钢板类型A规格B规格C规格第一种钢板211第二种钢板123今需要A,B,C三种规格的成品，分别15,18,27块，问这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使用钢板张数最少？解：设需要第一种钢板x张，第二种钢板y张，则：2x+y15，x+2yx+3y27，x0y注释：[1]作者.书名.出版社名(或期刊名).出版时间(或期刊号).页码(每一项用“.”称号隔开)参考文献：[1]作者.书名.出版社名.出版时间[2]作者.论文名.期刊名.期刊号.出版时间附录后记12 论文评定表姓名专业名称主考学校准考证号评定项目写作部分答辩总计立论观点组织结构语言表达回答问题表述能力发挥水平30%20%20%20%5%5%100%得分指导教师评语签名：12 答辩委员会评语答辩委员会组成及签名职称：＿＿＿＿＿＿签字：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿职称：＿＿＿＿＿＿签字：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿职称：＿＿＿＿＿＿签字：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿年月日甘肃省高等教育自学考试本科生毕业论文打印要求1、本科生毕业论文的纸张统一采用A4纸规格。2、本科生毕业论文由封面、扉页、摘要、目录、正文、注释、参考文献、后记等部分组成。3、摘要只要中文摘要。4、论文中一级标题用黑色3号字，二级题为宋体4号字，正文用宋体小4号字，行距为固定值22。5、论文篇幅过长时，用正反两面印刷。12