高考数学专题复习——圆锥曲线的离心率求解策略

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1、高考数学专题学习锥曲线离心率的求解策略离心率是描述圆锥曲线形状的重要参数,求圆锥曲线离心率的值或取值范I制是一常见问题，也是高考的一•个热点，这类问题往往小题精巧别致，人题综合程度高,数量关系隐藏得深，对学生的思维能力和运算能力冇较高的要求。下表是2011年全国各地考查离心率问题的统计情况：北京辽宁天津陕西福建四川重庆北约己知离心率求方程□知离心率求比值求离心率己知离心率求方程求离心率已知离心率求弦长已知离心率求方程求离心率从上表看，考杳离心率问题，题型主要有两类：一类是已知圆锥曲线的离心率及相

2、关条件，求関锥曲线的方程;另一类是由相关条件求离心率的值或范围的问题。求离心率问题授困难的地方在于如何找到等最关系或不等最关系，其关键是如何分析题意、细心挖掘“深藏不露”的相等或不等关系，列出一个与a,bfc,e有关的等式或不等式，实现等量关系与不等关系的相互转化。审题时要告別注意结合鬪锥曲线中的焦点三角形，选择恰当的数学思想方法，采用合理的计算过程进行问题的求解。卜•而通过具体的例题探讨求解离心率问题的最佳解题策略与方法。一、直接根据题意建立含有方程或不等式求解.满足PF21=1I.求椭圆的

3、离心率—yjkb2例]、（2011天津改编）设椭圆二+匚=1（。>〃>（））的左、右焦点分别为F],尺，点P（a,b）crb_(I)解：设耳(-c,0),笃(c,0)(c>0),因为PF2=FxF2I,即J(Q-c)2+，=2c,于是有：2c2+ac-a2=0,整理得：2(-)2+--l=0即2/+£_1=0aa解得：e=l或者1而心0,1）所以该椭圆的离心率为：e=^.解题策略：本题主要考查用直接法求圆锥曲线离心率的方法，只霊把已知条件中IP的1=1F}F2I具体化就可一个关于离心率s—

4、元二次方程，再求解该方程即可。X2y2提升练习1、过椭圆—+-v=i（^>/?>o）irj左焦点片作兀轴的垂线交椭圆于点p,笃为右焦crh~3C.-D._3二.借助平面几何关系建立G，C方程或不等式求解.例2：（2008福建）双Illi线罕-・=1（a>0,b>0）的两个焦点为R、F2,若P为其上一ah~点，且IPF42IPF2I,则双曲线离心率的取值范I韦1为（）。A.（l,3）B.（l,3]C.（3,+oo）D.[3,+oo）解析:VIPF,l=2IPF2l,AIPFil-IPF2l=IP

5、F2l=2a,由图中几何关系知：IPFJ+IPF2l>lFXF.I,3IPF2>2c=>6a>2c=>e<3而双曲线的离心率e>所以有：1"S3,故选B.解题策略：本题主耍考查求双Illi线离心率的取ffi范围问题，难点是怎样建立不等关系。若能山焦点三角形中的平面儿何关系，再结合双曲线的定义，则问题迎刃而解.22提升练习2、已知椭鬪冷+』7=l（d〉b〉0）的左焦点为F,右顶点为A,点3在椭圆上，且ertrBF丄xfill,宜线MB交）•，轴于点P.若AP=2PBf则椭圆的离心率是（）a/3

6、V2112232_£=Ka>0,b>0）的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60°三、运用数形结合建立4,C方程或不等式求解.X例3（06福建）已知双曲线ra~的宜线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双1111线离心率的取值范I韦1是（）.(A)(1,2](B)(1,2)(C)2+8)(D)(2,-Foo)解析：过点FR倾斜角为60。的总线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线斜率的绝对值不大于渐近线的斜率的绝对值，即->73,即b>y[3a即c2-6t2>3/ac2>4/a即e>2故选C.解题

7、策略：木题主要考杳利用数形结合的思想求圆锥曲线的离心率的问题。欲使过点F且倾斜角为60。的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，结合双曲线图形可知：则该总线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率绝对值°,至此，建立好不等式，问题即可圆满解决。221提升练习3、已知:椭圆C:务+—l（d>b>0）和圆O:x2+y2=（-+c）2（其中c为椭ab厶2圆的半焦距）有四个不同的交点，求椭圆的离心率的取值范饥四、直接利用圆锥曲线的第一、第二定义求离心率.例4（11年福建）.设鬪锥曲线「的两个焦点分别为F2,若曲

8、线卩上存在点P满足下列条件:PF、:FxF2:PF2=4:3:2,则曲线「的离心率等于（）。A.丄或丄B.?或2223C.丄或2解析：因为WIPF,l:IF,F21:1PF21=4:3:2,不妨设IPF}=4r,IF,F21=3r,IPF2=2r,所以，当圆锥曲线『是椭圆时有：c3广1PF,+PF.1=2a=6r,F.F.1=2c==-=—=-；〜~a6r2当圆锥曲线「是双曲线时有：c3厂3II-IPF21=2a=2r?

9、^^1=2c=3r,e=-=—=-〜a2r213所以，圆锥曲线