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1、以数学思想为背景的高观点试题探析郭丽云（浙江省温岭中学）2008年浙江省《高考数学科考试说明》提出：对数学能力的考查，强调“以能力为立意",就是以数学知识为载体，从问题入手，把握学科的整体意义，用统一的数学观点组织材料，侧重体现对知识的理解和应用，尤其是综合和灵活的应用，以此来检测考生将知识迁移到不同情境中去的能力，从而检测出考生个体理性思维的广度和深度，以及进一步学习的潜能。“以能力立意命题二正是为了更好地考查数学思想，促进考生数学理性思维的发展。高等数学的—•些内容可以通过初等数学的方法和手段解决，高考数学考试大纲也明确指出高考命题要与高等数学相关联，要为学生进入高校学习作准备。
2、因此近几年高考数学试题中出现了一些与高等数学衔接紧密的高观点试题，为高考命题提供了新的背景和新的思路。一、高观点试题的内涵所谓高观点试题，是指与高等数学相联系的问题。这样的问题或以高等数学符号、概念直接岀现，或以高等数学的概念、定理作为依托融于初等数学知识中，或体现高等数学中常用的数学思想方法和推理方法。它能宽角度、多观点地考查学生基本的数学素养，有层次地深入了解数学理性思维和进一步深造的潜能，还能实现高等数学与初等数学的接轨。高等数学与初等数学交会是高考命题的六大交会之一，是现代数学新高考创新题的重要题源。二、以数学思想为背景的高观点试题数学思想是数学知识在更高层次上的抽象和概括，
3、是数学知识的精髄，是分析和解决数学问题的基本原则，也是数学素养的重要内涵，它蕴含在数学知识发生、发展和应用的过程中，能够迁移并广泛应用于相关学科和社会生活中。中学数学中向学生渗透数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想、化归思想等数学思想。高等数学中重要的数学思想有函数的思想、极限的思想、连续的思想、导数的思想、微分的思想、积分的思想、级数的思想等等。初等数学和高等数学的数学思想存在着直与曲、常与变、有限与无限、间断与连续等统一的一面。初等数学思想是高等数学思想的简单体现，也是学习高等数学的基础。用高等数学的思想去认识、理解和解决初等数学问题，可以进一步地充实初等数学的某些理论的论
4、述深度，以及进一步熟练地掌握用初等方法解决问题的技能。综观近儿年的高考试题，对数学思想的考查并不考查其理论本身，而是考查其应用。本文就以高等数学的数学思想为背景的高观点试题为例对其解法作一些探究，希望能起到抛砖引玉的作用。1•以极限的思想为背景的高观点试题极限思想作为反映客观事物在运动、变化过程中由量变转化为质变时的数量关系或空间形式，能够通过旧质的量的变化规律，去计算新质的量。因此，它具有由此达彼的重大创新作用。极限思想是高等数学知识最基础的一块，也是高等数学教学的主线和核心内容。虽然在高中数学课程改革中，极限这一部分的内容已经所剩无几了，但是在命题中渗透极限思想的题忖却还是人人称
5、赞不绝，命题中应用高等数学中极限的思想，可以使呆板、平淡的数学题充满活力和魅力，而且也能折射出交会性命题的闪光之处。B图1CB(b)yiyC(c)图2例1（2009年高考数学湖南卷理科第15题）将正asAABC分割成n2（n>2,neN：H全等的小正三角形（图顶点各放置一个数，使位于AABC的三边及平行于某1、图2分别给出了”2、3的情形），在每个三角形的边的任一直线上的数(当数的个数不少于3时)都分别依次成等差数列。若顶点A、B、C处的三个数互不相同且和为1,记所有顶点上的数之和为f(n),则有f(2)=2,f(3)=—，…,f(n)=解法I：应用初等数学思想。当n=3吋，如图2所
6、示，分别设各顶点的数用小写字母表示，根据已知条件和等差数列的性质，得a+b+c=l,X
7、+X2=a+b,yi+y2=b+c,Z
8、+Z2=c+a,X]+X2+y]+y?+zi+Z2=2(a+b+c)=2,2g=x1+y2=x2+Z2=y1+z1,所以6g=X
9、+X2+y】+y2+Zi+Z2=2,艮卩,古110而f(3)=a+b+c+X[+X2+yi+y2+zi+Z2+g=l+2+—=—,33进一步可求得f(4)=5o由上知f(l)中有三个数相加，f(2)中有6个数相加，f(3)屮有10个数相加，f(4)中有15个数相加，…，若f(n-l)中有a心个数相加，可知f(n)中有(an_i+n
10、+l)个数相加，363+331045且由f(l)=l=-,f(2)=-==f(l)+-,f(3)=—=f(2)+—,f(4)=f(3)+；,...,3333333可得f(n)=f(n-l)+丄巴，3八「n+n+1nn+1nn-1所以f(n)=f(n・l)+=f(n-2)++-=f(n-3)++—+333333n+1nn-13、n+1nn-13211+—++…+—+f(1)=+—++•••+—+—+—=—(n+l)(n+2)・33333333336解法2:应
