新课改瘦专用版2020高考数学一轮复习2.7函数与方程学案

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1、第七节函数与方程突破点一　函数的零点问题1．函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的

2、根．[提醒]　函数零点的两个易错点(1)函数的零点不是点，是方程f(x)＝0的实根．(2)函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件．2．二次函数图象与零点的关系Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无零点个数_2__1__0_一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)函数的零点就是

3、函数的图象与x轴的交点．(　　)(2)函数y＝f(x)，x∈D在区间(a，b)⊆D内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.(　　)(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c在b2－4ac<0时没有零点．(　　)答案：(1)×　(2)×　(3)√二、填空题1．若函数f(x)＝ax－b有一个零点是3，那么函数g(x)＝bx2＋3ax的零点是________．解析：∵函数f(x)＝ax－b的零点是3，∴3a－b＝0，即b＝3a.于是函数g(x)＝bx2＋3ax＝bx2＋bx＝bx(x＋1)，令g(x

4、)＝0，得x＝0或x＝－1.答案：0，－12．函数f(x)＝ex＋x－2的零点个数为________．解析：∵f′(x)＝ex＋>0，∴f(x)在R上单调递增，又f(0)＝1－2<0，f(1)＝e－>0，∴函数f(x)在定义域内有零点且只有一个．答案：13．若函数f(x)＝ax＋1－2a在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是________．解析：当a＝0时，函数f(x)＝1在(－1,1)上没有零点，所以a≠0.所以函数f(x)是单调函数，要满足题意，只需f(－1)f(1)<0，即(－

5、3a＋1)·(1－a)<0，所以(a－1)·(3a－1)<0，解得0，所以由零点存在性定理得函数f(x)的零点位于区间(2,3)上，故选C.法二：(数形结合)函数

6、f(x)＝x＋lnx－3的零点所在区间转化为g(x)＝lnx，h(x)＝－x＋3的图象的交点横坐标所在范围．如图所示，可知f(x)的零点在(2,3)内．[答案]　C[方法技巧]　判断函数零点(方程的根)所在区间的方法解方程法当对应方程易解时，可通过解方程确定方程是否有根落在给定区间上定理法利用零点存在性定理进行判断数形结合法画出相应的函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断，或者转化为两个函数图象在给定区间上是否有交点来判断考法二　函数零点个数的判断　[例2]　(1)(2019·南昌模

7、拟)函数f(x)＝x－x的零点个数为(　　)A．0B．1C．2D．3(2)(2019·保定模拟)已知函数f(x)＝则函数g(x)＝f[f(x)]－1的零点个数为(　　)A．1B．3C．4D．6[解析]　(1)法一：(定理法)∵f(0)＝－1，f(1)＝，∴f(0)f(1)<0，故函数f(x)在(0,1)上至少存在一个零点，又∵f(x)为增函数，∴f(x)的零点个数为1.法二：(图象法)令f(x)＝0，得x＝x，在平面直角坐标系中分别画出函数y＝x与y＝x的图象(图略)，可得交点只有一个，∴函数f(x)

8、的零点只有1个，故选B.(2)函数g(x)＝f[f(x)]－1的零点个数即f[f(x)]＝1在(－1，＋∞)上的实数解的个数，令f(x)＝1得x1＝－，x2＝1，x3＝5，作出函数f(x)的大致图象如图所示．由图象可知f(x)＝－无解，f(x)＝1有3个解，f(x)＝5有1个解．综上所述，函数g(x)＝f[f(x)]－1的零点个数为4，故选C.[答案]　(1)B　(2)C[方法技巧]　　　判断函数零点个数的方法直接法即直接求零点，令f(x)＝0，如果能求