2019-2020年高考数学一轮复习 坐标系与参数方程第1讲 坐标系教案 理 选修4-4

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1、2019-2020年高考数学一轮复习坐标系与参数方程第1讲坐标系教案理选修4-4第1讲 坐标系【xx年高考会这样考】考查极坐标与直角坐标的互化以及有关圆的极坐标问题.【复习指导】复习本讲时,要抓住极坐标与直角坐标互化公式这个关键点,这样就可以把极坐标问题转化为直角坐标问题解决,同时复习以基础知识、基本方法为主.基础梳理1.极坐标系的概念在平面上取一个定点O叫做极点;自点O引一条射线Ox叫做极轴;再选定一个长度单位、角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向为正方向),这样就建立了一个极坐标系

2、(如图).设M是平面上的任一点,极点O与点M的距离

3、OM

4、叫做点M的极径,记为ρ;以极轴Ox为始边,射线OM为终边的∠xOM叫做点M的极角,记为θ.有序数对(ρ,θ)称为点M的极坐标,记作M(ρ,θ).2.直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点,x轴正半轴作为极轴,且在两坐标系中取相同的长度单位.如图,设M是平面内的任意一点,它的直角坐标、极坐标分别为(x,y)和(ρ,θ),则或3.直线的极坐标方程若直线过点M(ρ0,θ0),且极轴到此直线的角为α,则它的方程为:ρsin(θ-α)=ρ0s

5、in(θ0-α).几个特殊位置的直线的极坐标方程(1)直线过极点:θ=θ0和θ=π-θ0;(2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴:ρcosθ=a;(3)直线过M且平行于极轴:ρsinθ=b.4.圆的极坐标方程若圆心为M(ρ0,θ0),半径为r的圆方程为ρ2-2ρ0ρcos(θ-θ0)+ρ-r2=0.几个特殊位置的圆的极坐标方程(1)当圆心位于极点,半径为r:ρ=r;(2)当圆心位于M(a,0),半径为a:ρ=2acos_θ;(3)当圆心位于M,半径为a:ρ=2asin_θ.双基自测1.点P的直角坐标

6、为(-,),那么它的极坐标可表示为________.解析 直接利用极坐标与直角坐标的互化公式.答案 2.若曲线的极坐标方程为ρ=2sinθ+4cosθ,以极点为原点,极轴为x轴正半轴建立直角坐标系,则该曲线的直角坐标方程为________.解析 ∵ρ=2sinθ+4cosθ,∴ρ2=2ρsinθ+4ρcosθ.∴x2+y2=2y+4x,即x2+y2-2y-4x=0.答案 x2+y2-4x-2y=03.(xx·西安五校一模)在极坐标系(ρ,θ)(0≤θ<2π)中,曲线ρ=2sinθ与ρcosθ=-1的

7、交点的极坐标为________.解析 ρ=2sinθ的直角坐标方程为x2+y2-2y=0,ρcosθ=-1的直角坐标方程为x=-1,联立方程,得解得即两曲线的交点为(-1,1),又0≤θ<2π,因此这两条曲线的交点的极坐标为.答案 4.在极坐标系中,直线l的方程为ρsinθ=3,则点到直线l的距离为________.解析 ∵直线l的极坐标方程可化为y=3,点化为直角坐标为(,1),∴点到直线l的距离为2.答案 25.(xx·广州调研)在极坐标系中,直线ρsin=2被圆ρ=4截得的弦长为_______

8、_.解析 由ρsin=2,得(ρsinθ+ρcosθ)=2可化为x+y-2=0.圆ρ=4可化为x2+y2=16,由圆中的弦长公式得:2=2=4.答案 4考向一 极坐标和直角坐标的互化【例1】►(xx·广州测试(二))设点A的极坐标为,直线l过点A且与极轴所成的角为,则直线l的极坐标方程为________________.[审题视点]先求直角坐标系下的直线方程再转化极坐标方程.解析 ∵点A的极坐标为,∴点A的平面直角坐标为(,1),又∵直线l过点A且与极轴所成的角为,∴直线l的方程为y-1=(x-)t

9、an,即x-y-2=0,∴直线l的极坐标方程为ρcosθ-ρsinθ-2=0,可整理为ρcos=1或ρsin=1或ρsin=1.答案 ρcos=1或ρcosθ-ρsinθ-2=0或ρsin=1或ρsin=1.(1)在由点的直角坐标化为极坐标时,一定要注意点所在的象限和极角的范围,否则点的极坐标将不唯一.(2)在曲线的方程进行互化时,一定要注意变量的范围.要注意转化的等价性.【训练1】(xx·佛山检测)在平面直角坐标系xOy中,点P的直角坐标为(1,-).若以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系

10、,则点P的极坐标可以是________.解析 由极坐标与直角坐标的互化公式ρcosθ=x,ρsinθ=y可得,ρcosθ=1,ρsinθ=-,解得ρ=2,θ=2kπ-(k∈Z),故点P的极坐标为(k∈Z).答案 (k∈Z)考向二 圆的极坐标方程的应用【例2】►(xx·广州测试)在极坐标系中,若过点(1,0)且与极轴垂直的直线交曲线ρ=4cosθ于A、B两点,则

11、AB

12、=________.[审题视点]先将直线与曲线的极坐标方程化为普通方程,再利用圆的知识求

13、AB

14、.解析

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