2019-2020年高考数学一轮总复习 5.6 函数y＝Asin(ωx＋ )的图象和性质教案 理 新人教A版

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1、2019-2020年高考数学一轮总复习5.6函数y＝Asin(ωx＋)的图象和性质教案理新人教A版典例精析题型一　“五点法”作函数图象【例1】设函数f(x)＝sinωx＋cosωx(ω＞0)的周期为π.(1)求它的振幅、初相；(2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；(3)说明函数f(x)的图象可由y＝sinx的图象经过怎样的变换得到.【解析】(1)f(x)＝sinωx＋cosωx＝2(sinωx＋cosωx)＝2sin(ωx＋)，又因为T＝π，所以＝π，即ω＝2，所以f(x)＝2sin(2x＋)，所以函数f(x)＝sinωx＋cosωx(ω＞0)的振幅为

2、2，初相为.(2)列出下表，并描点画出图象如图所示.　　(3)把y＝sinx图象上的所有点向左平移个单位，得到y＝sin(x＋)的图象，再把y＝sin(x＋)的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到y＝sin(2x＋)的图象，然后把y＝sin(2x＋)的图象上的所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y＝2sin(2x＋)的图象.【点拨】用“五点法”作图，先将原函数化为y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)形式，再令ωx＋φ＝0，，π，，2π求出相应的x值及相应的y值，就可以得到函数图象上一个周期内的五个点，用平滑的曲线连接五个点，再

3、向两端延伸即可得到函数在整个定义域上的图象.【变式训练1】函数的图象如图所示，则(　　)A.k＝，ω＝，φ＝B.k＝，ω＝，φ＝C.k＝，ω＝2，φ＝D.k＝－2，ω＝，φ＝【解析】本题的函数是一个分段函数，其中一个是一次函数，其图象是一条直线，由图象可判断该直线的斜率k＝.另一个函数是三角函数，三角函数解析式中的参数ω由三角函数的周期决定，由图象可知函数的周期为T＝4×(－)＝4π，故ω＝.将点(，0)代入解析式y＝2sin(x＋φ)，得×＋φ＝kπ，k∈Z，所以φ＝kπ－，k∈Z.结合各选项可知，选项A正确.题型二　三角函数的单调性与值域【例2】已知函数f(x)＝

4、sin2ωx＋sinωxsin(ωx＋)＋2cos2ωx，x∈R(ω＞0)在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为.(1)求ω的值；(2)若将函数f(x)的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)的最大值及单调递减区间.【解析】(1)f(x)＝sin2ωx＋cos2ωx＋＝sin(2ωx＋)＋.令2ωx＋＝，将x＝代入可得ω＝1.(2)由(1)得f(x)＝sin(2x＋)＋，经过题设的变化得到函数g(x)＝sin(x－)＋，当x＝4kπ＋π，k∈Z时，函数g(x)取得最大值.令2kπ＋≤x－≤2

5、kπ＋π，即[4kπ＋，4kπ＋π](k∈Z)为函数的单调递减区间.【点拨】本题考查三角函数恒等变换公式的应用、三角函数图象性质及变换.【变式训练2】若将函数y＝2sin(3x＋φ)的图象向右平移个单位后得到的图象关于点(，0)对称，则

6、φ

7、的最小值是(　　)A.B.C.D.【解析】将函数y＝2sin(3x＋φ)的图象向右平移个单位后得到y＝2sin[3(x－)＋φ]＝2sin(3x－＋φ)的图象.因为该函数的图象关于点(，0)对称，所以2sin(3×－＋φ)＝2sin(＋φ)＝0，故有＋φ＝kπ(k∈Z)，解得φ＝kπ－(k∈Z).当k＝0时，

8、φ

9、取得最小值，故选

10、A.题型三　三角函数的综合应用【例3】已知函数y＝f(x)＝Asin2(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ＜)的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点(1,2).(1)求φ的值；(2)求f(1)＋f(2)＋…＋f(2008).【解析】(1)y＝Asin2(ωx＋φ)＝－cos(2ωx＋2φ)，因为y＝f(x)的最大值为2，又A＞0，所以＋＝2，所以A＝2，又因为其图象相邻两对称轴间的距离为2，ω＞0，所以×＝2，所以ω＝.所以f(x)＝－cos(x＋2φ)＝1－cos(x＋2φ)，因为y＝f(x)过点(1,2)，所以cos(＋2φ)＝－1.所以＋2φ＝2k

11、π＋π(k∈Z)，解得φ＝kπ＋(k∈Z)，又因为0＜φ＜，所以φ＝.(2)方法一：因为φ＝，所以y＝1－cos(x＋)＝1＋sinx，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋1＋0＋1＝4，又因为y＝f(x)的周期为4,2008＝4×502.所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2008)＝4×502＝2008.方法二：因为f(x)＝2sin2(x＋φ)，所以f(1)＋f(3)＝2sin2(＋φ)＋2sin2(＋φ)＝2，f(2)＋f(4)＝2sin2(＋φ)＋2sin2(π＋φ)＝2，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝4，又因为y＝f