2019届高考数学二轮复习 专题一 第2讲 不等式学案

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1、第2讲不等式考向预测1．利用不等式性质比较大小、不等式的求解、利用基本不等式求最值及线性规划问题是高考的热点，主要以选择题、填空题为主；2．在解答题中，特别是在解析几何中求最值、范围问题或在解决导数问题时常利用不等式进行求解，难度较大．1．不等式的解法(1)一元二次不等式的解法．一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或<0)(a≠0，Δ＝b2－4ac>0)，如果a与ax2＋bx＋c同号，则其解集在两根之外；如果a与ax2＋bx＋c异号，则其解集在两根之间．(2)简单分式不等式的解法．①>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)．②≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0

2、．(3)指数不等式、对数不等式及抽象函数不等式，可利用函数的单调性求解．2．几个不等式(1)a2＋b2≥2ab(取等号的条件是当且仅当a＝b)．(2)(a，b∈R)．(3)≥≥≥(a>0，b>0)．(4)2(a2＋b2)≥(a＋b)2(a，b∈R，当a＝b时等号成立)．3．利用基本不等式求最值(1)如果x>0，y>0，xy＝p(定值)，当x＝y时，x＋y有最小值2(简记为：积定，和有最小值)．(2)如果x>0，y>0，x＋y＝s(定值)，当x＝y时，xy有最大值(简记为：和定，积有最大值)．4．简单的线性规划问题解决线性规划问题首先要找到可行域，再根据目标函数表示的几何意义，数形结合

3、找到目标函数达到最值时可行域上的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决．热点一　不等式的性质及解法【例1】(1)(2018·武汉联考)已知函数是上的减函数，若，则实数a的取值范围为____．(2)(2017·江苏卷)已知函数f(x)＝x3－2x＋ex－，其中e是自然对数的底数，若f(a－1)＋f(2a2)≤0，则实数a的取值范围是________．解析　(1)因为是上的减函数，若，所以，解不等式组得，(2)f′(x)＝3x2－2＋ex＋≥3x2－2＋2＝3x2≥0且f′(x)不恒为0，所以f(x)为单调递增函数．又f(－x)＝－x3＋2x＋e－x－ex＝－(

4、x3－2x＋ex－)＝－f(x)，故f(x)为奇函数，由f(a－1)＋f(2a2)≤0，得f(2a2)≤f(1－a)，∴2a2≤1－a，解之得－1≤a≤，故实数a的取值范围是．答案　(1)C　(2)探究提高　1．解一元二次不等式：先化为一般形式ax2＋bx＋c>0(a>0)，再结合相应二次方程的根及二次函数图象确定一元二次不等式的解集．2．(1)对于和函数有关的不等式，可先利用函数的单调性进行转化．(2)含参数的不等式的求解，要对参数进行分类讨论．【训练1】(1)(2018·七宝中学)若对任意恒成立，则实数的取值范围是_____(2)已知不等式≥

5、a2－a

6、对于x∈[2，6]恒成立，

7、则a的取值范围是________．解析　(1)由已知得不等式对任意恒成立，所以不等式对任意恒成立，即不等式对任意恒成立，当时，则不等式对任意不恒成立，所以。所以，即，所以．解得．(2)设y＝，，故y＝在x∈[2，6]上单调递减，则ymin＝＝，故不等式≥

8、a2－a

9、对于x∈[2，6]恒成立等价于

10、a2－a

11、≤恒成立，化简得解得－1≤a≤2，故a的取值范围是[－1，2]．答案　(1)R　(2)[－1，2]热点二　基本不等式【例2】(1)(2018·天津期末)已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是__________．(2)(2016·江苏卷改编)已知函数f(x)＝2x＋，若对于任意x∈

12、R，不等式f(2x)≥mf(x)－6恒成立，则实数m的最大值为________．解析　(1)∵，，恒成立，且，，因为恒成立，∴，∴．故答案为．(2)由条件知．∵f(2x)≥mf(x)－6对于x∈R恒成立，且f(x)>0，∴对于x∈R恒成立．又＝f(x)＋≥2＝4，且，∴m≤4，故实数m的最大值为4．答案　(1)8　(2)4探究提高　1．利用基本不等式求最值，要注意“拆、拼、凑”等变形，变形的原则是在已知条件下通过变形凑出基本不等式应用的条件，即“和”或“积”为定值，等号能够取得．2．特别注意：(1)应用基本不等式求最值时，若遇等号取不到的情况，则应结合函数的单调性求解．(2)若两次连

13、用基本不等式，要注意等号的取得条件的一致性，否则会出错．【训练2】(1)(2018·新泰一中)若直线过点，则的最小值为______．(2)若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为(　　)A．B．2C．2D．4解析　(1)∵直线过点，∴，故，当且仅当，即时取等号，结合可解得且，故答案为．(2)依题意知a>0，b>0，则＋≥2＝，当且仅当＝，即b＝2a时，“＝”成立．∵＋＝，∴≥，即ab≥2，∴ab的最小值为2．答案　(1)C　(2)C热点三　简单的线性规划问题