2019年高考数学 考点分析与突破性讲练 专题20 数列求和 理

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1、专题20数列求和一、考纲要求：1.掌握等差、等比数列的前n项和公式.2.掌握特殊的非等差、等比数列的几种常见的求和方法．二、概念掌握及解题上的注意点：(1.分组转化法求和的常见类型(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，则可采用分组求和法求{an}的前n项和．(2)通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是或等差数列，可采用分组求和法求和．2.错位相减法求和的适用范围如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法求和.3.错位相减法求和的注意事项①在写出“Sn”与“

2、qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式.②在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.三、高考考题题例分析：例1.（2018天津卷）设{an}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Sn（n∈N*），{bn}是等差数列．已知a1=1，a3=a2+2，a4=b3+b5，a5=b4+2b6．（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；（Ⅱ）设数列{Sn}的前n项和为Tn（n∈N*），（i）求Tn；（ii）证明=﹣2（n∈N*）．【答案】（Ⅰ），bn=n；（Ⅱ）（i）【解析】

3、：（Ⅰ）解：设等比数列{an}的公比为q，由a1=1，a3=a2+2，可得q2﹣q﹣2=0．∵q＞0，可得q=2．故．设等差数列{bn}的公差为d，由a4=b3+b5，得b1+3d=4，由a5=b4+2b6，得3b1+13d=16，∴b1=d=1．故bn=n；　例2.（2018江苏卷）已知集合A={x

4、x=2n﹣1，n∈N*}，B={x

5、x=2n，n∈N*}．将A∪B的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{an}，记Sn为数列{an}的前n项和，则使得Sn＞12an+1成立的n的最小值为　　．【答案】27【解析】：利用列举法可得：S26=，a27=4

6、3，⇒12a27=516，不符合题意．S27==546，28=45⇒1228=540，符合题意，故答案为：27．例3.【2017课标1，理12】几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是

7、A．440B．330C．220D．110【答案】A例4.【2015高考新课标2，理16】设是数列的前n项和，且，，则________．【答案】【解析】：由已知得，两边同时除以，得，故数列是以为首项，为公差的等差数列，则，所以．例5.【2015高考山东，理18】设数列的前n项和为.已知.（I）求的通项公式；（II）若数列满足，求的前n项和.【答案】（I）;（II）.（II）因为，所以当时，所以当时，所以两式相减，得经检验，时也适合，综上可得：例6.(2017·全国卷Ⅲ)设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n.(1)求{an}的通项公

8、式；(2)求数列的前n项和．【答案】(1)an＝.(2)Sn＝例7.(2017·山东高考)已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1＋a2＝6，a1a2＝a3.(1)求数列{an}的通项公式；(2){bn}为各项非零的等差数列，其前n项和为Sn.已知S2n＋1＝bnbn＋1，求数列的前n项和Tn.【答案】(1)an＝2n.(2)Tn＝5－.【解析】：　(1)设{an}的公比为q，由题意知a1(1＋q)＝6，aq＝a1q2，又an>0，由以上两式联立方程组解得a1＝2，q＝2，所以an＝2n.(2)由题意知S2n＋1＝＝(2n＋1)bn＋1，又S2n

9、＋1＝bnbn＋1，bn＋1≠0，所以bn＝2n＋1.令cn＝，则cn＝.因此Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝＋＋＋…＋＋，又Tn＝＋＋＋…＋＋，两式相减得Tn＝＋－，所以Tn＝5－.　例8.(2016·北京高考)已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4.(1)求{an}的通项公式；(2)设cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和．【答案】(1)an＝2n－1(n＝1,2,3，…)．(2)n2＋.(2)由(1)知an＝2n－1，bn＝3n－1.因此cn＝an＋bn＝2n－1＋3n－1.从而数列{cn}的

10、前n项和Sn＝1＋3＋…＋(2n－1)＋1＋3＋…＋3n－1＝＋＝n2＋.数列求和练习一、选择题1．已知等差