江苏省2019高考数学二轮复习 专题四 函数与导数 第2讲 导数及其应用学案

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1、第2讲　导数及其应用[考情考向分析]　1.导数的几何意义和导数运算是导数应用的基础，曲线的切线问题是江苏高考的热点，要求是B级.2.利用导数研究函数的单调性与极值是导数的核心内容，要求是B级．热点一　函数图象的切线问题例1　已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值；(2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围．解　f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)．(1)由题意得解得b＝0，a＝－3或a＝1.(2)因为曲

2、线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，所以关于x的方程f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)＞0，即4a2＋4a＋1＞0，解得a≠－.所以a的取值范围是∪.思维升华　解决曲线的切线问题的关键是求切点的横坐标，先使用曲线上点的横坐标表示切线方程，再考虑该切线与其他条件的关系．跟踪演练1　(1)(2018·常州期末)已知函数f(x)＝bx＋lnx，其中b∈R，若过原点且斜率为k的直线与曲线y＝f(x)相切，则k－b的值为________．答案　解析　因为f(x)＝bx＋l

3、nx(x＞0)，所以f′(x)＝b＋，设过原点且斜率为k的直线与曲线y＝f(x)相切于点(x0，bx0＋lnx0)，则切线方程为y－(bx0＋lnx0)＝(x－x0)，因为该切线过原点，所以－(bx0＋lnx0)＝－，解得lnx0＝1，x0＝e，所以k＝b＋，故k－b＝.(2)(2018·江苏泰州中学月考)若曲线y＝x2与曲线y＝alnx在它们的公共点P(s，t)处具有公共切线，则实数a的值为________．答案　1解析　两曲线的导数分别是y′＝x，y′＝，因为在P处有公切线，所以＝且＝alns，解得a＝1.热点二　利用导数研究函数的单调性例

4、2　已知函数f(x)＝2lnx＋bx，直线y＝2x－2与曲线y＝f(x)相切于点P.(1)求点P的坐标及b的值；(2)若函数g(x)＝x－(a>0)，讨论函数h(x)＝g(x)－f(x)的单调区间．解　(1)设P(x0，y0)为直线y＝2x－2与曲线y＝f(x)的切点坐标，则有2lnx0＋bx0＝2x0－2.①因为f′(x)＝＋b(x＞0)，所以＋b＝2.②联立①②解得b＝0，x0＝1，则切点P(1,0)，b＝0.(2)由(1)知f(x)＝2lnx，则h(x)＝g(x)－f(x)＝x－－2lnx(x>0)．求导得h′(x)＝1＋－＝(x>0)．

5、令y＝x2－2x＋a(x＞0)．①若Δ＝4－4a≤0，即a≥1时，y≥0，即h′(x)≥0，此时函数h(x)在定义域(0，＋∞)上为增函数；②若Δ＝4－4a>0，即0x2时，y＞0，即h′(x)>0，h(x)为增函数；当x1

6、＋∞)，单调减区间为(1－，1＋)．思维升华　利用导数研究函数单调性的一般步骤(1)确定函数的定义域．(2)求导函数f′(x)．(3)①若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0.②若已知函数的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立来求解．跟踪演练2　(1)函数f(x)＝x2－lnx的单调减区间为________．答案　(0,1)解析　由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，又由f′(x)＝x－＜0，解得0＜x<1，所以函数f(x)的单调减区间为(0,1)．(2

7、)已知函数h＝lnx－x在区间上为单调函数，则实数a的取值范围是___________________________________．答案　(－∞，－e]∪[1－e，＋∞)解析　当h单调递增时，则h′＝－≥0在上恒成立，∴≥在上恒成立，又∈，∴a＋e≤0，解得a≤－e.当h单调递减时，则h′＝－≤0在上恒成立，∴≤在上恒成立，∴a＋e≥1，∴a≥1－e.综上，当h在区间(1，＋∞)上单调时，a的取值范围为.热点三　利用导数研究函数的极值与最值例3　已知函数f(x)＝ax－－3lnx，其中a为常数．(1)当函数f(x)的图象在点处的切线的斜率为

8、1时，求函数f(x)在上的最小值；(2)若函数f(x)在区间(0，＋∞)上既有极大值又有极小值，求a的取值范围．解　(1)f′(x)＝a＋－(x>0)