江苏省高考数学二轮复习专题四函数与导数第2讲导数及其应用学案.docx

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1、第2讲 导数及其应用[考情考向分析] 1.导数的几何意义和导数运算是导数应用的基础,曲线的切线问题是江苏高考的热点,要求是B级.2.利用导数研究函数的单调性与极值是导数的核心内容,要求是B级.热点一 函数图象的切线问题例1 已知函数f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b(a,b∈R).(1)若函数f(x)的图象过原点,且在原点处的切线斜率为-3,求a,b的值;(2)若曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线,求a的取值范围.解 f′(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2).(1)由题意得解得b=0,a=-3或a=1.(2)因为曲线y=

2、f(x)存在两条垂直于y轴的切线,所以关于x的方程f′(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2)=0有两个不相等的实数根,所以Δ=4(1-a)2+12a(a+2)>0,即4a2+4a+1>0,解得a≠-.所以a的取值范围是∪.思维升华 解决曲线的切线问题的关键是求切点的横坐标,先使用曲线上点的横坐标表示切线方程,再考虑该切线与其他条件的关系.跟踪演练1 (1)(2018·常州期末)已知函数f(x)=bx+lnx,其中b∈R,若过原点且斜率为k的直线与曲线y=f(x)相切,则k-b的值为________.答案 解析 因为f(x)=bx+lnx(x>0

3、),所以f′(x)=b+,设过原点且斜率为k的直线与曲线y=f(x)相切于点(x0,bx0+lnx0),则切线方程为y-(bx0+lnx0)=(x-x0),因为该切线过原点,所以-(bx0+lnx0)=-,解得lnx0=1,x0=e,所以k=b+,故k-b=.(2)(2018·江苏泰州中学月考)若曲线y=x2与曲线y=alnx在它们的公共点P(s,t)处具有公共切线,则实数a的值为________.答案 1解析 两曲线的导数分别是y′=x,y′=,因为在P处有公切线,所以=且=alns,解得a=1.热点二 利用导数研究函数的单调性例2 已知函数f(x

4、)=2lnx+bx,直线y=2x-2与曲线y=f(x)相切于点P.(1)求点P的坐标及b的值;(2)若函数g(x)=x-(a>0),讨论函数h(x)=g(x)-f(x)的单调区间.解 (1)设P(x0,y0)为直线y=2x-2与曲线y=f(x)的切点坐标,则有2lnx0+bx0=2x0-2.①因为f′(x)=+b(x>0),所以+b=2.②联立①②解得b=0,x0=1,则切点P(1,0),b=0.(2)由(1)知f(x)=2lnx,则h(x)=g(x)-f(x)=x--2lnx(x>0).求导得h′(x)=1+-=(x>0).令y=x2-2x+a(x

5、>0).①若Δ=4-4a≤0,即a≥1时,y≥0,即h′(x)≥0,此时函数h(x)在定义域(0,+∞)上为增函数;②若Δ=4-4a>0,即0x2时,y>0,即h′(x)>0,h(x)为增函数;当x1

6、+).思维升华 利用导数研究函数单调性的一般步骤(1)确定函数的定义域.(2)求导函数f′(x).(3)①若求单调区间(或证明单调性),只要在函数定义域内解(或证明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0.②若已知函数的单调性,则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立来求解.跟踪演练2 (1)函数f(x)=x2-lnx的单调减区间为________.答案 (0,1)解析 由题意知,函数的定义域为(0,+∞),又由f′(x)=x-<0,解得0<x<1,所以函数f(x)的单调减区间为(0,1).(2)已知函数h=lnx-x在区间上为单

7、调函数,则实数a的取值范围是___________________________________.答案 (-∞,-e]∪[1-e,+∞)解析 当h单调递增时,则h′=-≥0在上恒成立,∴≥在上恒成立,又∈,∴a+e≤0,解得a≤-e.当h单调递减时,则h′=-≤0在上恒成立,∴≤在上恒成立,∴a+e≥1,∴a≥1-e.综上,当h在区间(1,+∞)上单调时,a的取值范围为.热点三 利用导数研究函数的极值与最值例3 已知函数f(x)=ax--3lnx,其中a为常数.(1)当函数f(x)的图象在点处的切线的斜率为1时,求函数f(x)在上的最小值;(2)若

8、函数f(x)在区间(0,+∞)上既有极大值又有极小值,求a的取值范围.解 (1)f′(x)=a+-(x>0)

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