§1.柯西函数方程

《§1.柯西函数方程》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、§1.柯西函数方程考虑二元函数方程：(1)通常这类函数方程的解不是唯一的，为了使(1)的解是唯一，我们大多给予一些附加条件。例如，要求该函数是“连续的”，或者必须是“在定义域中每一个有限区间内为有界的”，或是“单调”函数…等。解方程式(1)的步骤是：依次求出独立变量取正整数值、整数值、有理数值，直至所有实数值，而得到函数方程的解。下面我们在f(x)的不同附加条件下来解函数方程(1)。Example1：设函数在整个实数域上连续，求函数方程式(1)的解？【解】：因为(1)由数学归纳法易知，对任意的实数有特别当时，(2)取，可

2、得在(1)式中取因此，在(1)式中取，可得在(2)式中取，则可得所以对任意的整数，在(2)式中取，(m,n为正整数)，有但在于(1)式中取，则可得5所以对任意的有理数r，因为有理数是实数的稠密子集，且为连续函数，所以(3)故(3)是(1)在中唯一的解。Example2：若函数在某一充分小的区间(a,b)内为有界，求(1)的解。【解】：在上例中，我们已证明在给定，。令,则当时，(A)且对任意的实数所以也满足方程式(1)。对任意的实数x，取则。令，则，此即是说，对任意的，存在，使得(＊)由假设条件知，在(a,b)内有界，所以

3、由(＊)知，g在整个实数上都有界。又由(A)知若存在一个无理数，使得则，矛盾。所以因此，。Example3：设在某个足够小的区间内是单调函数，求(1)的解？【解】：我们利用Example2的结果来证明在单调函数下(1)之解仍为5。任取，，使得。因为为单调函数，所以所以内有界；因此由例2可知。§2、几个重要的二元函数方程在本节中所有的均假设是连续的。Example1：设上是连续的且不恒等于0，求出函数方程(1)的解。【解】：由数学归纳法易知特别，取，则可得(2)在上式中取，可得　　　　于(1)式中，取，可得.因为我们假设不

4、恒为0，所以.在(2)式中，取(m为正整数)，则可得.在(1)式中，取，则可得所以，对任意的有理数，。5又因有理数是实数的稠密子集，且上连续，所以.若，则.(3)Example2：设在正实数域上有定义，连续且不恒等于0，试求函数方程(4)的解。【解】：由数学归纳法易知，对所有的正实数；特别，取时，可知(5)在(5)式中，取，可得由(5)式也可知，所以，由(4)式可知。因此我们证明了，对于任意的，。因为在正实数上连续且有理数与的交集为上的稠密子集，，(＊)取定，对任意的，存在，使得；。将此代入(＊)，则可得。5令，则。(6

5、)这是函数方程(＊)在整个正实数上连续时，唯一的解。Example3：设在实数上都有定义，连续且不恒为0，求方程式(7)的解？【解】：任取，对任意的，存在使得，(可取，)将此代入(7)式可得令，则(8)因为在上连续上连续。故由Example1可知，(8)有唯一的解，(是一个唯一固定的常数)，。。故，令，(9)【注】：如在Example3中，不要求为连续函数，则解并必是唯一的。例如函数(10)不难看出它也是(7)的解。5