专家名著：函数方程的柯西解法

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1、专家名著函数方程的柯西解法田增伦在函数方程的发展史上，许多函数方程的建立和解法都是由柯西首先提出的.本节我们就来研究函数方程的柯西解法.在前几节讨论的函数方程中，所涉及的函数大多数是自然数的函数.而本节中的函数，它的定义域都是在某一区间上的实数.柯西解法的步骤是：依次求出对于自变量的所有自然数值、整数值、有理数值，直至所有实数值的函数方程的解.如所周知，一个函数方程的解往往并不是唯一的.也就是说，可能存在着不同的函数，满足同一个函数方程.为了保证函数方程的解的唯一性，通常需要给所求的函数附加一些条件，例如要求所求的函

2、数必须是连续的，或者必须是单调的.在本节里，要求函数方程的解都必须是单调函数.什么是单调函数呢？如果对于较大的自变量的值，函数值也较大；即当时，有，就是说函数单调增加.如果对于较大的自变量的值，函数值反而较小；即当时，有，就说函数单调减小.单调增加和单调减小的函数，统称单调函数.在后面的讨论中，我们还要用到区间套原理.这个原理是这样的：设有一个区间序列：（78）其中每个区间都包含着后一个区间：（其中是集的包含符号）形成一个“区间套”，而且区间长度可以任意地小（就是说，不论我们事先给定一个多么小的正数ε，序列（78）中

3、总存在这样一个区间，从此以后所有的区间的长度都小于ε）.那末，必定存在着唯一的一个点ξ，被所有（无穷多）这些区间所包含.特别是当ξ是无理数时，如果把和取作ξ的精确到10-n的不足近似值和过剩近似值.那末以ξ的不足近似值和过剩近似值为端点，将构成一个区间套.相应的区间的长度是10-n.例如，我们知道，圆周率π是一个无理数：于是，可以构成区间套区间的长度依次是3.2-3.1=10-1，3.15-3.14=10-2，3.142-3.141=10-3，….我们注意到，每个区间的端点都是有理数，而只有唯一的一个无理数α=π被包

4、含在所有这些区间之内.有了这些准备之后，我们转入函数方程的柯西解法的讨论.[例19]解函数方程（79）解由函数方程（79）容易推得（用数学归纳法）：（80）在（80）中如果令，就得到再令（m是正整数），又有所以记常数f(1)=c.于是对于任何正有理数x>0，都有（81）当自变量的值为零时，即令x=y=0，由函数方程（79），有∴这就是说，对于自变量的值为零的情形，函数方程（79）的解也是（81）.对于自变量为负数的情形，如x为负有理数，可设于是有所以总之，对于自变量的任何有理数值x=r，函数方程（79）的解都是（81

5、）：（82）现在来讨论自变量是无理数的情形.x=ξ(ξ是无理数).设ξ的精确到小数点后第i位的不足近似值和过剩近似值是.根据f(x)的单调性（为确定起见，不妨设f(x)是单调增加的），推知（83）因为由又得由于，是有理数，由（83）得（84）比较（83）和（84），看出和处于同一个区间套之内.根据区间套原理，只有一个点为所有区间套公有，得知=.（85）综合（82）和（85），即得：对于任何实数x，函数方程（79）的解是正比例函数[例20]解例2中的函数方程（9）并求出由摄氏温度换算为华氏温度的关系式.解在函数方程（9

6、）中，令y=0，就有或者（86）用数学归纳法可以证明，事实上，设n=k时，方程（87）成立，即设于是有根据（86），得就是说，对于n=k+1，方程（87）仍然成立.又当n=2时，显然有这就证明了由函数方程（9）可以推出函数方程（87）.在（87）中，令，即得（88）又令（m是正整数），则有就是但由（88）知代入上式即得因而记最后有（89）当x=0时，显然有（90）如果令，就有所以总之，由（89），（90），（91）得，对于任何有理数x=r，函数方程（9）的解是现在，讨论自变量是无理数的情形：x=ξ（ξ是无理数）.设ξ

7、的精确到小数点后第i位的不足近似值和过剩近似值是αi和βi.根据f(x)的单调性[不妨假定f(x)是单调增加的.单调减小情形的论证类似]推知，（93）同样根据单调增加性，得知所以由可得而由于，是有理数，所以（93）又可写成（94）（93）和（94）表明和处于同一个区间套之内.根据区间套原理，就有=.（95）综合（92），（95），可知对于任何实数x，函数方程（9）的解是一次函数（96）现在来求由摄氏温度换算为华氏温度的关系式.由（10）知此外，由（10）还知所以最后得[例21]解例4中的函数方程（10）解由（16）容

8、易推得（用数学归纳法）：如果令，对于任何实数x和自然数n，就有（97）在（97）中，令（m是自然数），便有记f(1)=c.就得（98）令y=0.对于任何实数x，由（16）各因为f(x)是单调的，所以f(x)不恒等于零.从而（99）如果令那末由（16）又得所以（100）（98），（99），（100）表明，对于任何有理数r，满足函数方程（16）的是