2019年高考数学一轮复习 15-2不等式的证明同步检测(I)新人教A版选修4-5

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1、2019年高考数学一轮复习15-2不等式的证明同步检测(I)新人教A版选修4-5一、填空题1．设x>0，则函数y＝3－3x－的最大值是__________．解析：y＝3－3x－＝3－≤3－2＝3－2，即ymax＝3－2.答案：3－22．函数f(x)＝3x＋(x>0)的最小值为__________．解析：f(x)＝3x＋＝＋＋≥3＝9，当且仅当＝，即x＝2时等号成立．答案：93．记S＝＋＋＋…＋，则S与1的大小关系是__________．解析：∵＜，＜，…，＝＜，∴S＝＋＋＋…＋＜＋＋…＋＝1.答案：S＜14．已知h>0，a，b∈R，甲：

2、

3、a－b

4、<2h：乙：

5、a－1

6、

7、b－1

8、

9、a－b

10、＝

11、a－1＋1－b

12、≤

13、a－1

14、＋

15、b－1

16、<2h，故由乙能推出甲成立，但甲成立不能推出乙成立，所以甲是乙的必要不充分条件．答案：必要不充分5．已知a＞b＞c＞d，则(a－d)的最小值为__________．解析：原式＝[(a－b)＋(b－c)＋(c－d)]≥3×3＝9.当且仅当a－b＝b－c＝c－d时等号成立．答案：96．若x＋2y＋4z＝1，则x2＋y2＋z2的最小值是__________．解析：∵1＝x＋2y＋4z≤·，∴x2

17、＋y2＋z2≥，当且仅当x＝＝，即x＝，y＝，z＝时x2＋y2＋z2的最小值为.答案：7．函数y＝＋的最大值为__________．解析：函数的定义域为[1,6]．y2＝(＋)2＝(×＋1×)2≤[()2＋12]×[()2＋()2]＝3×5＝15.∴y2≤15.由题意知y>0，∴0

18、2≤×(5a2＋3b2)＝×＝1.∴a2＋2ab＋b2的最大值为1.答案：19．已知＋＝1(a>b>0)，则利用柯西不等式判断a2＋b2与(x＋y)2的大小关系为__________．解析：∵＋＝1，∴a2＋b2＝(a2＋b2)≥2＝(x＋y)2.答案：a2＋b2≥(x＋y)210．设x，y，z均为实数，则的最大值是__________解析：由柯西不等式知(x2＋2y2＋z2)·≥(2x＋y－z)2⇒≤.当且仅当＝2y＝－z>0时等号成立．答案：11．设0＜x＜1，则a＝，b＝1＋x，c＝中最大的一个是__________．解析：由a2

19、＝2x，b2＝1＋x2＋2x＞a2，a＞0，b＞0得b＞a.又c－b＝－(1＋x)＝＝＞0得c＞b，知c最大．答案：c12．设x＞0，y＞0，若不等式＋＋≥0恒成立，则实数λ的最小值是__________．解析：∵x＞0，y＞0，∴原不等式可化为－λ≤(x＋y)＝2＋＋.∵2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当x＝y时等号成立．∴(x＋y)min＝4，即－λ≤4，λ≥－4.答案：－413．已知a，b，c，d∈R且满足a＋b＋c＋d＝3，a2＋2b2＋3c2＋6d2＝5，则a的取值范围为__________．解析：由柯西不等式，有(2b2＋3c2＋

20、6d2)≥(b＋c＋d)2，即2b2＋3c2＋6d2≥(b＋c＋d)2.即5－a2≥(3－a)2.解得1≤a≤2.答案：[1,2]14．[xx·韶关月考]若x＋y＋z＝1，则F＝2x2＋3y2＋z2的最小值为__________．解析：(2x2＋3y2＋z2)(3＋2＋6)≥(x＋y＋z)2＝6，∴2x2＋3y2＋z2≥.答案：二、解答题15．已知a＋b＋c＝1，求证：a2＋b2＋c2≥.证明：方法一：∵a2＋b2＋c2＝(a＋b＋c)2－(2ab＋2bc＋2ac)≥(a＋b＋c)2－2(a2＋b2＋c2)，∴3(a2＋b2＋c2)≥(

21、a＋b＋c)2＝1，∴a2＋b2＋c2≥.方法二：∵a2＋b2＋c2－＝a2＋b2＋c2－＝(2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac)＝[(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2]≥0，∴a2＋b2＋c2≥.方法三：∵(12＋12＋12)(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2＝1，即3(a2＋b2＋c2)≥1，∴a2＋b2＋c2≥.16．[xx·唐山市期末]已知x，y，z∈R，x＋y＋z＝3.(1)求＋＋的最小值；(2)证明：3≤x2＋y2＋z2＜9.解析：(1)因为x＋y＋z≥3＞0，＋＋≥＞0，所以(x＋y＋z)≥9，即＋＋

22、≥3，当且仅当x＝y＝z＝1时，＋＋取最小值3.(2)x2＋y2＋z2＝≥＝＝3.又x2＋y2＋z2－9＝x2＋y2＋z2－(x＋y＋z)2＝－2(xy＋yz＋zx)＜0，所以3≤x2＋y2＋z2＜9.