2019年高考数学大一轮复习 第九章 第5讲 双曲线训练 理

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1、2019年高考数学大一轮复习第九章第5讲双曲线训练理一、选择题1．设双曲线－＝1(a＞0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为(　　)．A．4B．3C．2D．1解析　双曲线－＝1的渐近线方程为3x±ay＝0与已知方程比较系数得a＝2.答案　C2．已知双曲线C：－＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为(　　)．A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1解析　不妨设a>0，b>0，c＝.据题意，2c＝10，∴c＝5.①双曲线的渐近线方程为y＝±x，且P(2,1)在C的渐近线上，∴1＝.②由①②解得

2、b2＝5，a2＝20，故正确选项为A.答案　A3．已知双曲线x2－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则·的最小值为(　　)．A．－2B．－C．1D．0解析　设点P(x，y)，其中x≥1.依题意得A1(－1,0)，F2(2,0)，则有＝x2－1，y2＝3(x2－1)，·＝(－1－x，－y)·(2－x，－y)＝(x＋1)(x－2)＋y2＝x2＋3(x2－1)－x－2＝4x2－x－5＝42－，其中x≥1.因此，当x＝1时，·取得最小值－2，选A.答案　A4．过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F(

3、－c,0)(c>0)作圆x2＋y2＝的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若＋＝2，则双曲线的离心率为(　　)．A.B.C.D.解析　设双曲线的右焦点为A，则＝－，故＋＝－＝＝2，即OE＝AP.所以E是PF的中点，所以AP＝2OE＝2×＝a.所以PF＝3a.在Rt△APF中，a2＋(3a)2＝(2c)2，即10a2＝4c2，所以e2＝，即离心率为e＝＝，选C.答案　C5．已知双曲线－＝1的右焦点与抛物线y2＝12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于(　　)．A.B．4C．3D．5解析　易求得抛物

4、线y2＝12x的焦点为(3,0)，故双曲线－＝1的右焦点为(3,0)，即c＝3，故32＝4＋b2，∴b2＝5，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x，∴双曲线的右焦点到其渐近线的距离为＝.答案　A6．如图，已知点P为双曲线－＝1右支上一点，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，I为△PF1F2的内心，若S△IPF1＝S△IPF2＋λS△IF1F2成立，则λ的值为(　　)A.B.C.D.解析根据S△IPF1＝S△IPF2＋λS△IF1F2，即

5、PF1

6、＝

7、PF2

8、＋λ

9、F1F2

10、，即2a＝λ2c，即λ＝＝.答案B二、填空题7．双

11、曲线－＝1的右焦点到渐近线的距离是________．解析由题意得：双曲线－＝1的渐近线为y＝±x.∴焦点(3,0)到直线y＝±x的距离为＝.答案8．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1的离心率为，则m的值为________．解析　由题意得m＞0，∴a＝，b＝.∴c＝，由e＝＝，得＝5，解得m＝2.答案　29．如图，已知双曲线以长方形ABCD的顶点A、B为左、右焦点，且双曲线过C、D两顶点．若AB＝4，BC＝3，则此双曲线的标准方程为________．解析　设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)．由题意得B(

12、2,0)，C(2,3)，∴解得∴双曲线的标准方程为x2－＝1.答案　x2－＝110．如图，双曲线－＝1(a，b＞0)的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2.若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D.则(1)双曲线的离心率e＝________；(2)菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值＝________.解析　(1)由题意可得a＝bc，∴a4－3a2c2＋c4＝0，∴e4－3e2＋1＝0，∴e2＝，∴e＝.(2)设sinθ＝，cosθ＝

13、，＝＝＝＝e2－＝.答案　(1)　(2)三、解答题11．中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且

14、F1F2

15、＝2，椭圆的长半轴与双曲线半实轴之差为4，离心率之比为3∶7.(1)求这两曲线方程；(2)若P为这两曲线的一个交点，求cos∠F1PF2的值．解　(1)由已知：c＝，设椭圆长、短半轴长分别为a，b，双曲线半实、虚轴长分别为m，n，则解得a＝7，m＝3.∴b＝6，n＝2.∴椭圆方程为＋＝1，双曲线方程为－＝1.(2)不妨设F1，F2分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点，则

16、PF1

17、

18、＋

19、PF2

20、＝14，

21、PF1

22、－

23、PF2

24、＝6，所以

25、PF1

26、＝10，

27、PF2

28、＝4.又

29、F1F2

30、＝2，∴cos∠F1PF2＝＝＝.12．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．(1)求双曲线方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：·＝0；(3)求△F1MF2的面积．(1)解　∵e＝，∴设双曲线方程