2019年高考数学二轮复习 专题7 第4讲 随机变量及其分布列素能训练（文、理）

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1、2019年高考数学二轮复习专题7第4讲随机变量及其分布列素能训练（文、理）一、解答题1．(xx·郑州市质检)为了迎接2014年3月30日在郑州举行的“中国郑开国际马拉松赛”，举办单位在活动推介晚会上进行嘉宾现场抽奖活动.抽奖盒中装有6个大小相同的小球，分别印有“郑开马拉松”和“美丽绿城行”两种标志.摇匀后，参加者每次从盒中同时抽取两个小球(取出后不再放回)，若抽到两个球都印有“郑开马拉松”标志即可获奖，并停止取球；否则继续抽取．第一次取球就抽中获一等奖，第二次取球抽中获二等奖，第三次取球抽中获三等奖，没有抽中不获奖．活动开始后，一位参赛者问：“盒中有几个印有‘郑开马拉

2、松’的小球？”主持人说“我只知道第一次从盒中同时抽两球，不都是'美丽绿城行'标志的概率是.”(1)求盒中印有“郑开马拉松”小球的个数；(2)若用η表示这位参加者抽取的次数，求η的分布列及期望．[解析]　(1)设印有“美丽绿城行”的球有n个，同时抽两球不都是“美丽绿城行”标志为事件A,则同时抽取两球都是“美丽绿城行”标志的概率是P()＝，由对立事件的概率知P(A)＝1－P()＝.即P()＝＝，解得n＝3.(2)由已知，两种球各三个，η可能取值分别为1、2、3，则η＝2的含义是第一次取到两球都印有“美丽绿城行”，第二次取球中奖；或第一次取到两类球各一个，第二次取球中奖，∴

3、P(η＝1)＝＝，P(η＝2)＝·＋·＝，P(η＝3)＝1－P(η＝1)－P(η＝2)＝，则η的分布列为：η123Ρ所以Eη＝1×＋2×＋3×＝.2．(xx·天津理，16)某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．[解析]　(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”

4、为事件A，则P(A)＝＝.所以，选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为.(2)随机变量X的所有可能值为0、1、2、3.P(X＝k)＝(k＝0、1、2、3)所以，随机变量X的分布列是X0123P随机变量X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.3．(xx·石家庄质检)某商场为了了解顾客的购物信息，随机的在商场收集了100位顾客购物的相关数据，整理如下：一次购物款(单位：元)[0,50)[50,100)[100,150)[150,200)[200，＋∞)顾客人数m2030n10统计结果显示：100位顾客中购物款不低于100元的顾客占60%.据统计该商场每日大约有5

5、000名顾客，为了增加商场销售额度，对一次性购物不低于100元的顾客发放纪念品(每人一件)．(注：视频率为概率)(1)试确定m、n的值，并估计该商场每日应准备纪念品的数量；(2)现有4人去该商场购物，求获得纪念品的人数ξ的分布列与数学期望．[解析]　(1)由已知，100位顾客中购物款不低于100元的顾客有n＋40＝100×60%，n＝20；m＝100－(20＋30＋20＋10)＝20.该商场每日应准备纪念品的数量大约为5000×＝3000件．(2)由(1)可知1人购物获得纪念品的频率即为概率p＝＝.故4人购物获得纪念品的人数ξ服从二项分布B(4，)．P(ξ＝0)＝C(

6、)0()4＝，P(ξ＝1)＝C()1()3＝，P(ξ＝2)＝C()2()2＝，P(ξ＝3)＝C()3()1＝，P(ξ＝4)＝C()4()0＝，ξ的分布列为ξ01234Pξ数学期望为Eξ＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.或由Eξ＝4×＝.4．(xx·湖南理，17)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和，现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立．(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元，求该企业可获利润的分布列和数学期望．[

7、分析]　(1)由条件可知甲、乙研发新产品成功的概率，求至少有一种新产品研发成功的概率可用对立事件求解．(2)先依据A、B产品研发成功的可能性确定利润ξ的取值，再依据独立事件概率求分布列和期望．[解析]　(1)设至少有一组研发成功的事件为事件A且事件B为事件A的对立事件，则事件B为两种新产品都没有成功，因为甲、乙成功的概率分别为、.则P(B)＝(1－)×(1－)＝×＝，再根据对立事件概率之间的公式可得P(A)＝1－P(B)＝，所以至少一种产品研发成功的概率为.(2)由题可设该企业可获得利润为ξ，则ξ的取值有0,120＋0,100＋0,120＋100，即