2019届高考数学二轮复习 专题五 第2讲 概率、随机变量及其分布列（理）学案

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1、第2讲概率、随机变量及其分布列考向预测1．计数原理、古典概型、几何概型的考查多以选择或填空的形式命题，中低档难度；2．概率模型多考查独立重复试验、相互独立事件、互斥事件及对立事件等；对离散型随机变量的分布列及期望的考查是重点中的“热点”．1．概率模型公式及相关结论(1)古典概型的概率公式．P(A)＝＝．(2)几何概型的概率公式．P(A)＝．(3)条件概率．在A发生的条件下B发生的概率：P(B

2、A)＝．(4)相互独立事件同时发生的概率：若A，B相互独立，则P(AB)＝P(A)·P(B)．(5)若事件A，B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋

3、P(B)，P()＝1－P(A)．2．独立重复试验与二项分布如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n．用X表示事件A在n次独立重复试验中发生的次数，则X服从二项分布，即X～B(n，p)且P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k．3．超几何分布在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝，k＝0，1，2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，此时称随机变量X服从超几何分布．超几何分布

4、的模型是不放回抽样，超几何分布中的参数是M，N，n．4．离散型随机变量的均值、方差(1)离散型随机变量ξ的分布列为：ξx1x2x3…xi…nPp1p2p3…pi…pn离散型随机变量ξ的分布列具有两个性质：①pi≥0；②p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn＝1(i＝1，2，3，…，n)．(2)E(ξ)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量ξ的数学期望或均值．D(ξ)＝(x1－E(ξ))2·p1＋(x2－E(ξ))2·p2＋…＋(xi－E(ξ))2·pi＋…＋(xn－E(ξ))2·pn叫做随机变量ξ的方差．(3)数学期望、方

5、差的性质．①E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b，D(aξ＋b)＝a2D(ξ)．②X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．③X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．热点一　随机变量的分布列、均值与方差【例1】(2019·黄山一模)2015年11月27日至28日，中共中央扶贫开发工作会议在北京召开，为确保到2020年所有贫困地区和贫困人口一道迈入全面小康社会．黄山市深入学习贯彻习近平总书记关于扶贫开发工作的重要论述及系列指示精神，认真落实省委、省政府一系列决策部署，精准扶贫、精准施策，各项政策措施落到实处

6、，脱贫攻坚各项工作顺利推进，成效明显．贫困户杨老汉就是扶贫政策受益人之一．据了解，为了帮助杨老汉早日脱贫，负责杨老汉家的扶贫队长、扶贫副队长和帮扶责任人经常到他家走访，其中扶贫队长每天到杨老汉家走访的概率为14，扶贫副队长每天到杨老汉家走访的概率为13，帮扶责任人每天到杨老汉家走访的概率为12．（Ⅰ）求帮扶责任人连续四天到杨老汉家走访的概率；（Ⅱ）设扶贫队长、副队长、帮扶责任人三人某天到杨老汉家走访的人数为X，求X的分布列；（Ⅲ）杨老汉对三位帮扶人员非常满意，他对别人说:“他家平均每天至少有1人走访”．请问：他说的是真的吗？解(Ⅰ)设

7、帮扶责任人连续四天到杨老汉家走访的事件为A，则P(A)=12×12×12×12=116，∴帮扶责任人连续四天到杨老汉家走访的概率为116．（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．P(X=0)=34×23×12=14；P(X=1)=14×23×12+34×13×12+34×23×12=1124；P(X=2)=14×13×12+14×23×12+34×13×12=14；P(X=3)=14×13×12=124．随机变量X的分布列为：X0123P14112414124（Ⅲ）E(X)=1124+12+18=1312，所以E(X)>1，所

8、以杨老汉说的是真的．探究提高　1．求随机变量的均值和方差的关键是正确求出随机变量的分布列．2．对于实际问题中的随机变量X，如果能够断定它服从二项分布B(n，p)，则其概率、期望与方差可直接利用公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n)，E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)求得．【训练1】(2017·西安二模)中国铁路客户服务中心为方便旅客购买车票，推出三种购票方式：窗口购票、电话购票、网上购票，旅客任选一种购票方式．若甲、乙、丙3名旅客都准备购买火车票，并且这3名旅客选择购票的方式是相互独立的．(1)求这三

9、名旅客中至少有两人选择网上购票的概率；(2)记这三名旅客购票方式的种数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．解　(1)记“三名旅客中恰有两人选择网上购票”为事件A，“三名旅客都选择网上购票”为事件B，且A，B互斥．则P(A)＝C