高中数学 第二章 推理与证明 2.2.2 间接证明学案 苏教版选修2-2

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1、2.2.2　间接证明学习目标重点难点1．能知道反证法的思考过程、特点．2．会用反证法证明数学问题.重点：反证法的适用范围、思考过程、特点及应用．难点：会用反证法证明数学问题.1．间接证明(1)不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明的方法通常称为________．(2)________是一种常用的间接证明方法．2．反证法(1)用反证法证明时，要从否定________开始，经过正确的推理，导致逻辑________，从而达到新的否定(即肯定原命题)．(2)用反证法证明命题“若p则q”的过程可以用框图表示：→→→.3．反证法证明过程包括三个步骤(1)____——假设命题

2、的结论不成立，即假定原结论的反面为真．(2)____——从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理得出矛盾结果．(3)____——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立．预习交流做一做：用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时，假设应该是________________________________________________________________________．在预习中还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点我的学疑点答案：预习导引1．(1)间接证明　(2)反证法2．(1)结论　矛盾　(2)否定结

3、论q　矛盾　若p则q”为真3．(1)反设　(2)归谬　(3)存真预习交流：提示：假设三角形的内角中至少有两个钝角一、用反证法证明否定性命题设数列{an}是首项为a1，公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和．(1)求证：数列{Sn}不是等比数列．(2)数列{Sn}是等差数列吗？为什么？思路分析：仔细分析题意可得(1)(2)中都含有否定性命题，可采用反证法证明，解题时要注意对公比q的分析．设a，b，c，d∈R，且ad－bc＝1.求证：a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.当要证结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题，此类问题的反面比较具体，适于应用反证

4、法．例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾．二、用反证法证明“至多”“至少”问题证明：若函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，那么方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个实根．思路分析：结论中含词语“至多”，宜采用反证法，注意“至多有一个”的否定是“至少有2个”．若x＞0，y＞0，且x＋y＞2，求证：与中至少有一个小于2.(1)结论若是“都是”“都不是”“至多”“至少”形式的不等式或直接从正面入手难以寻觅突破口的问题，宜考虑使用反证法．(2)要想得到与原命题相反的判断，必先弄清原命题的含义，即原命题包含哪几个结论(不能缩小也不能扩大)，然

5、后避开问题给的条件考虑可能得到的各种结论，从这些结论中把原命题所含的结论剔除，就得到原命题的相反判断．三、用反证法证明“唯一”性问题用反证法证明：过已知直线a外一点A只有一条直线b与已知直线a平行．思路分析：假设过点A有两条直线与直线a平行，由平行公理推出与假设矛盾的结论．过平面α内的点A作直线a，使得a⊥α，求证：直线a是唯一的．1．当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，由于反设结论易于推出矛盾，所以用反证法证明唯一性就非常简单明了．2．用反证法证题时，一定要处理好推出矛盾这一步骤，因为反证法的核心就是从求证结论的反面出发，导出矛盾的结

6、果，因此如何导出矛盾，就成了关键所在，对于证题步骤，绝不可死记，而要具有全面扎实的基础知识，再灵活运用．1．应用反证法推出矛盾的推导过程中，可以把下列哪些作为条件使用，正确的序号是__________．①结论的反设；②已知条件；③定义、公理、定理等；④原结论．2．用反证法证明命题“如果a＞b，那么＞”时，假设的内容应是__________．3．命题“a，b是实数，若

7、a－1

8、＋

9、b－1

10、＝0，则a＝b＝1”用反证法证明时应假设为________．4．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，这与三角形内角和

11、为180°矛盾，故假设错误．②所以一个三角形不能有两个直角．③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°.上述步骤的正确顺序为________．5．下列叙述正确的有__________．(填序号)①“a＞b”的反面是“a＜b”；②“x＝y”的反面是“x＞y或x＜y”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；④“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角”．提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记.知识精华技能要领答案：活动与探究1：解：(1)证明：假设数列{S