2018-2019高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 1.1.3 三个正数的算术-几何平均不等式导学案 新人教A版选修4-5

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1、1.1.3三个正数的算术-几何平均不等式学习目标1．探索并了解三个正数的算术几何平均不等式的证明过程．2．会用平均不等式求一些特定函数的最大(小)值．3．会建立函数不等式模型，利用其解决实际生活中的最值问题．一、自学释疑根据线上提交的自学检测，生生、师生交流讨论，纠正共性问题。二、合作探究探究1．满足不等式≥成立的a，b，c的范围是什么？探究2．应用三个正数的算术－几何平均不等式，求最值应注意什么？探究3　利用不等式≥求最值的条件是什么？探究4　如何求y＝＋x2的最小值？例1已知x∈R＋，求函数y＝x(1－x2)

2、的最大值．变式练习1．已知x∈R＋，求函数y＝x2·(1－x)的最大值．例2设a、b、c∈R＋，求证：(1)(a＋b＋c)2≥27；(2)(a＋b＋c)≥.变式练习2．设0

3、2【提示】三个正数的和为定值，积有最大值；积为定值，和有最小值．当且仅当三个正数相等时取得．探究3【提示】　“一正、二定、三相等”，即(1)各项或各因式为正；(2)和或积为定值；(3)各项或各因式能取到相等的值．探究4【提示】　y＝＋x2＝＋＋≥3＝3，当且仅当＝，即x＝±时，等号成立，∴ymin＝3.其中把x2拆成和两个数，这样可满足不等式成立的条件．若这样变形：y＝＋x2＝＋＋x2，虽然满足了乘积是定值这个要求，但“三相等”不能成立，因为＝＝x2时x无解，不能求出y的最小值．例1【解析】∵y＝x(1－x2)，

4、∴y2＝x2(1－x2)2＝2x2(1－x2)(1－x2)·.∵2x2＋(1－x2)＋(1－x2)＝2，∴y2≤＝.当且仅当2x2＝1－x2＝1－x2，即x＝时取“＝”号．∴y≤.∴y的最大值为.变式练习1．解：y＝x2(1－x)＝x·x(1－x)＝x·x·(2－2x)×≤＝×＝.当且仅当x＝2－2x，即x＝时取等号．此时，ymax＝.例2【解析】(1)∵a，b，c∈R＋，∴a＋b＋c≥3＞0，从而(a＋b＋c)2≥9＞0，又＋＋≥3＞0，∴(a＋b＋c)2≥3·9＝27当且仅当a＝b＝c时，等号成立．(2)∵a

5、，b，c∈R＋，∴(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)≥3＞0，＋＋≥3＞0，∴(a＋b＋c)≥.当且仅当a＝b＝c时，等号成立．变式练习2．证明：∵00.∴0

6、h≤＝πR2H.当且仅当＝h，即h＝H时，V圆柱最大＝πR2H.变式练习3．解：设圆柱形饮料盒的体积为V(定值)，底面半径为r，高为h，表面积为S.则V＝πr2h，∴h＝.∴S＝2πr2＋2πrh＝2πr2＋＝2πr2＋＋≥3.即当2πr2＝，r＝时表面积最小．此时h＝2r.即饮料盒的底面半径为r＝，高为2时，用料最省．