2018-2019学年湖南师大附中高二（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

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1、2018-2019学年湖南师大附中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．＝（　　）A．1+2iB．1﹣2iC．2+iD．2﹣i2．已知U＝R，函数y＝ln（1﹣x）的定义域为M，集合N＝{x

2、x2﹣x＜0}．则下列结论正确的是（　　）A．M∩N＝NB．M∩（∁UN）＝∅C．M∪N＝UD．M⊆（∁UN）3．已知命题p：∀a∈R，且a＞0，a+≥2，命题q：∃x0∈R，sinx0+cosx0＝，则下列判断正确的是（　　）A．p是假命题B．q是真命题C．

3、p∧（￢q）是真命题D．（￢p）∧q是真命题4．已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则{an}前10项的和为（　　）A．10B．8C．6D．﹣85．已知函数f（x）＝ex+（a∈R），若f（x）为奇函数，则曲线y＝f（x）在x＝0处的切线方程为（　　）A．y＝﹣2xB．y＝﹣xC．y＝2xD．y＝x6．已知四边形ABCD是平行四边形，点E为边CD的中点，则＝（　　）A．B．C．D．7．某工厂生产的机器销售收入y1（万元）是产量x（千台）的函数：y1＝17x2，生产总成本y2（万元）也是产量x（千台）的函数；y2＝2x3﹣

4、x2（x＞0），为使利润最大，应生产（　　）A．6千台B．7千台C．8千台D．9千台8．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，＝，点N为B1B的中点，则

5、MN

6、＝（　　）A．aB．aC．aD．a9．已知直线l1：x＝﹣1，l2：x﹣y+1＝0，点P为抛物线y2＝4x上的任一点，则P到直线l1，l2的距离之和的最小值为（　　）A．2B．C．1D．10．已知f（x）＝，g（x）＝f（x）+x+m，若g（x）存在两个零点，则m的取值范围是（　　）A．[﹣1，+∞）B．[﹣1，0）C．[0，+∞）D．[1，+∞）11．在平面直角坐标系xOy中，

7、设F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，P是双曲线左支上一点，M是PF1的中点，且OM⊥PF1，2

8、PF1

9、＝

10、PF2

11、，则双曲线的离心率为（　　）A．B．C．2D．12．已知函数，g（x）＝﹣x3+x2+5，若对任意的，都有f（x1）﹣g（x2）≤0成立，则实数a的取值范围是（　　）A．（﹣∞，2﹣4ln2]B．（﹣∞，1]C．D．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．已知x＞1，观察下列不等式：x+＞2；x2+＞3；x3+＞4；…按此规律，第n个不等式为　　．14．若x，y满足约束条件，则z＝﹣x+y的最小值为　　．15．d

12、x﹣sinxdx＝　　．16．若函数f（x）＝ax2+xlnx有两个极值点，则实数a的取值范围是　　．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，其面积为S，且b2+c2﹣a2＝S．（1）求A；（2）若a＝5，cosB＝，求c．18．（12分）已知数列{an}，Sn是其前n项的和，且满足3an＝2Sn+n（n∈N*）（Ⅰ）求证：数列{an+}为等比数列；

13、（Ⅱ）记Tn＝S1+S2+…+Sn，求Tn的表达式．19．（12分）如图，五边形ABSCD中，四边形ABCD为长方形，三角形SBC是边长为2的正三角形，将三角形SBC沿BC折起，使得点S在ABCD上的射影恰好在AD上．（Ⅰ）证明：平面SAB⊥平面SAD；（Ⅱ）若AB＝1，求平面SCD与平面SBC所成锐二面角的余弦值．20．（12分）已知圆M：和点，Q是圆M上任意一点，线段NQ的垂直平分线和QM相交于点P，P的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）点A是曲线E与x轴正半轴的交点，直线x＝ty+m交E于B、C两点，直线AB，AC的斜率分别是k1，

14、k2，若k1•k2＝9，求：①m的值；②△ABC面积的最大值．21．（12分）已知函数f（x）＝x2+ax+lnx（a∈R）．（1）讨论函数f（x）在[1，2]上的单调性；（2）令函数g（x）＝ex﹣1+x2+a﹣f（x），e＝2.71828…是自然对数的底数，若函数g（x）有且只有一个零点m，判断m与e的大小，并说明理由．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（α为参数）．以原点O为极点，x轴的非

15、负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C的普通方程及其极坐标方程；（Ⅱ）设直线l的极坐标方程为ρsin（）＝2，射线OM