初等模型之席位分配市场稳定

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1、习题选讲地图平分线问题：问题重述：必存在一条纬线将中国地图面积平分。建立坐标系（假设）：以过地图最南端点的纬线为x轴，过地图最西端点的经线为y轴。如图。y=y0=0，即x轴；y=y1，表示与地图最北端相切的纬线。记地图面积为SD考虑在y0与y1之间各个纬线与x轴所夹地图面积，此面积应与y有关，记为是S(y)，且注意到S(y0)=0，S(y1)=SD。分析与证明：一般地，S(y)是在区间[y0,y1]上的连续函数（这是需要讨论与证明的），并注意到S最大=S(y1)=SD，S最小=S(y0)=0，对于

2、S中=1/2*[S最大+S最小]=1/2*SD，由介值定理，存在（y0,y1）上的y*使S(y*)=S中=1/2*SD，即存在一条纬线将地图面积平分。思考一下，还有没有什么不妥的？S(y)xySD深入讨论：若地图如右图，不能肯定S(y)是[y0,y1]上的连续函数，由于地图边界一定是连续的，那就只能是如图，线。YYYYY有部分地图边界平行于纬线。设平行于纬线的线为y=YY（有限个），若平行部分恰好是平分线，可证。若平行部分不是平分线，不妨设S(YY)<1/2*S(y1)=1/2*SD，那么，对于S

3、(y0)=0与S(y1)=SD之间的[SD-S（YY）]，由介值定理，必存在YYY，使得S（YYY）=SD-S（YY）。这时，考虑在[YY，YYY]之间的面积，恰等于原地图上下各去掉相同面积，再在[YY,YYY]上用介值定理，可证。还有...？初等模型2.1公平的席位分配2.3双层玻璃窗的功效2.4汽车刹车距离2.6实物交换2.7核军备竞赛2.9量纲分析与无量纲化2.1公平的席位分配系别学生比例20席的分配人数（%）比例结果甲10351.5乙6331.5丙3417.0总和200100.020.02

4、021席的分配比例结果10.8156.6153.57021.00021问题三个系学生共200名（甲系100，乙系60，丙系40），代表会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。现因学生转系，三系人数为103,63,34,问20席如何分配。若增加为21席，又如何分配。比例加惯例对丙系公平吗系别学生比例20席的分配人数（%）比例结果甲10351.510.3乙6331.56.3丙3417.03.4总和200100.020.020系别学生比例20席的分配人数（%）比例结果甲10351.510.

5、310乙6331.56.36丙3417.03.44总和200100.020.02021席的分配比例结果10.815116.61573.570321.00021“公平”分配方法衡量公平分配的数量指标人数席位A方p1n1B方p2n2当p1/n1=p2/n2时，分配公平p1/n1–p2/n2~对A的绝对不公平度p1=150,n1=10,p1/n1=15p2=100,n2=10,p2/n2=10p1=1050,n1=10,p1/n1=105p2=1000,n2=10,p2/n2=100p1/n1–p2/n

6、2=5虽二者的绝对不公平度相同，但后者对A的不公平程度已大大降低!若p1/n1>p2/n2，对A不公平p1/n1–p2/n2=5p1/n1为每个席位代表人数用什么做分母呢？p1?p2?(p1+p2)?(p1/n1)?(p2/n2)?公平分配方案应使rA,rB尽量小！设A,B已分别有n1,n2席，若增加1席，问应分给A,还是B不妨设分配开始时p1/n1>p2/n2，即对A不公平~对A的相对不公平度将绝对度量改为相对度量类似地定义rB(n1,n2)将一次性的席位分配转化为动态的席位分配,即“公平”分配

7、方法若p1/n1>p2/n2，定义这项科学吗？1）若p1/(n1+1)>p2/n2，则这席应给A2）若p1/(n1+1)p2/(n2+1)，应计算rB(n1+1,n2)应计算rA(n1,n2+1)若rB(n1+1,n2)p2/n2问：p1/n1rA(n1,n2+1),则这席应给B当rB(n1+1,n2)

8、ArA,rB的定义该席给A否则,该席给B定义该席给Q值较大的一方推广到m方分配席位该席给Q值最大的一方Q值方法计算，现场推导一下。三系用Q值方法重新分配21个席位按人数比例的整数部分已将19席分配完毕甲系：p1=103,n1=10乙系：p2=63,n2=6丙系：p3=34,n3=3用Q值方法分配第20席和第21席第20席第21席同上Q3最大，第21席给丙系甲系11席，乙系6席，丙系4席Q值方法分配结果公平吗？Q1最大，第20席给甲系进一步的讨论Q值方法比“比例加惯例”方法更公平吗？